Para cada função f(x) abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite para a função . Esse limite é a definição da derivada de em relação a . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa definição usando álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir lim h 0 (x + h)^3 - x^3h e na expressão do limite. Temos:

Passo 3

Agora, precisamos expandir (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3 . Para isso, vamos usar a fórmula do binômio de Newton:

Passo 4

Substituindo a expansão na expressão do limite, temos:
lim h 0 (x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3) - x^3h

Passo 5

Vamos simplificar o numerador eliminando lim h 0 3x^2h + 3x h^2 + h^3h :

Passo 6

Agora, vamos fatorar lim h 0 h(3x^2 + 3x h + h^2)h no numerador:
lim h 0 (3x^2 + 3x h + h^2)
Com isso, podemos cancelar o do numerador e do denominador:

Passo 7

Por fim, aplicamos o limite 3x^2 + 3x cdot 0 + 0^2 = 3x^2 :

Resposta

A derivada de f'(x) = 3x^2 é .

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