Qual das seguintes curvas possui uma reta tangente vertical?
(a) y=arctg x
(b) y=ln x
© y=x^2 / 3
(d) y=|x|
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede pra identificar em qual dessas curvas a reta tangente fica vertical em algum ponto, ou seja, onde a derivada tende a ±∞ em um ponto do domínio. Vamos usar cálculo de derivadas e lembrar que uma tangente é vertical se its slope blows up.

Passo 2

Calcular a derivada de cada função e ver se ela fica infinita em algum x dentro do domínio:
(a) Para :
y=arctg x
que é sempre finita pra todo y'=11+x^2,. Não tem tangente vertical.
(b) Para x:
y=ln x
que tende a +∞ quando y'=1x,, mas xto0^+ não pertence ao domínio ( x=0). Logo não há ponto no domínio com derivada infinita.
© Para x>0:
y=x^2/3
que de fato tende a +∞ quando y'=23x^-1/3, e a –∞ quando xto0^+. E xto0^- está no domínio. Então a tangente em x=0 é vertical.
(d) Para x=0:
y=|x|
e em y'=1,&x>0,-1,&x<0, a derivada não existe, mas não há inclinação infinita, é um cusp com tangentes de inclinação ±1.

Passo 3

Portanto, a curva que possui reta tangente vertical é a do item ©.

Resposta

y=x^2/3

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