Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=e^{x}-1, g(x)=\ln (x+1)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para as funções dadas, quatro composições:
  • (f\circ g)(x)=f(g(x))
  • (g\circ f)(x)=g(f(x))
  • (f\circ f)(x)=f(f(x))
  • (g\circ g)(x)=g(g(x))
As informações fornecidas são:
  • f(x)=e^{x}-1.
  • g(x)=\ln(x+1).
Vou trabalhar com essas definições para construir cada composição substituindo a função interna na função externa. Não vou resolver nada aqui além de listar o que é pedido e as funções dadas.

Passo 2

Conceito e regra prática para composições (pequena “aula”):
  • Composição de funções significa “aplicar uma função depois da outra”. Se eu quero f(g(x)), primeiro calculo g(x) e depois substituo esse resultado como entrada em f.
  • Em símbolos: se f e g são funções, então (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Importante: ao simplificar expressões com exponencial e logaritmo, uso duas identidades básicas (válidas quando as entradas estão nos domínios corretos): e^{\ln a}=a\quad\text{para }a>0,
\ln(e^{y})=y\quad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.
Vou explicar brevemente por que: a função exponencial e^{x} e o logaritmo natural \ln x são funções inversas uma da outra (no domínio apropriado), então aplicá-las uma após a outra “cancela” a operação.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Primeiro escrevo g(x): g(x)=\ln(x+1).
  • Agora substituo isso em f, isto é, f(u)=e^{u}-1 com u=g(x): (f\circ g)(x)=f(g(x))=e^{\,g(x)}-1.
  • Substituindo g(x) explicitamente: (f\circ g)(x)=e^{\ln(x+1)}-1.
  • Aplicando a identidade e^{\ln a}=a (válida para a>0; aqui a=x+1, portanto precisamos de x+1>0, ou seja x>-1): (f\circ g)(x)=x+1-1.
  • Simplificando: (f\circ g)(x)=x.
  • Observação sobre domínio: essa simplificação só faz sentido quando g(x) está definido, isto é, para x>-1. Dentro desse domínio, f(g(x))=x.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Primeiro escrevo f(x): f(x)=e^{x}-1.
  • Substituo em g(u)=\ln(u+1) com u=f(x): (g\circ f)(x)=g(f(x))=\ln\big(f(x)+1\big).
  • Substituindo f(x): (g\circ f)(x)=\ln\big(e^{x}-1+1\big).
  • Simplificando dentro do logaritmo: (g\circ f)(x)=\ln\big(e^{x}\big).
  • Aplicando a identidade \ln(e^{y})=y (válida para todo y\in\mathbb{R}; aqui y=x): (g\circ f)(x)=x.
  • Observação sobre domínio: f(x)=e^{x}-1 é definida para todo x\in\mathbb{R}, e o argumento do \ln fica e^{x}>0, portanto não há restrição adicional — g(f(x))=x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substituo f(x)=e^{x}-1 dentro de f(u)=e^{u}-1: (f\circ f)(x)=f(f(x))=e^{\,f(x)}-1.
  • Substituindo f(x): (f\circ f)(x)=e^{\,e^{x}-1}-1.
  • Essa é a forma simplificada. Sobre domínio: f(x) é definida para todo x\in\mathbb{R} (pois a exponencial é definida em todo \mathbb{R}), e a exponencial do resultado também está sempre definida, então f\circ f está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Substituo g(x)=\ln(x+1) dentro de g(u)=\ln(u+1): (g\circ g)(x)=g(g(x))=\ln\big(g(x)+1\big).
  • Substituindo g(x): (g\circ g)(x)=\ln\big(\ln(x+1)+1\big).
  • Essa é a forma simplificada. Agora a observação sobre domínio é importante: para g(x)=\ln(x+1) estar definida é necessário x+1>0, ou seja x>-1. Além disso, para g(g(x)) a entrada do segundo \ln deve ser positiva: \ln(x+1)+1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x+1)>-1.Isso equivale a x+1>e^{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad x>e^{-1}-1.Portanto o domínio de g\circ g é x>e^{-1}-1 (note que e^{-1}-1\approx -0{,}6321, que é maior que -1, então a condição mais restritiva é x>e^{-1}-1).

Resposta

(f\circ g)(x)=x
(g\circ f)(x)=x
(f\circ f)(x)=e^{\,e^{x}-1}-1
(g\circ g)(x)=\ln\big(\ln(x+1)+1\big)

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