Para cada par de funções
e
, determine as seguintes composições:
i.
ii.
iii.
iv.
Sendo:
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, para as funções dadas, quatro composições:
As informações fornecidas são:
-
. -
.
Vou trabalhar com essas definições para construir cada composição substituindo a função interna na função externa. Não vou resolver nada aqui além de listar o que é pedido e as funções dadas.
Passo 2
Conceito e regra prática para composições (pequena “aula”):
- Composição de funções significa “aplicar uma função depois da outra”. Se eu quero
, primeiro calculo e depois substituo esse resultado como entrada em . - Em símbolos: se
e são funções, então - Importante: ao simplificar expressões com exponencial e logaritmo, uso duas identidades básicas (válidas quando as entradas estão nos domínios corretos):
Vou explicar brevemente por que: a função exponencial
e o logaritmo natural
são funções inversas uma da outra (no domínio apropriado), então aplicá-las uma após a outra “cancela” a operação.
Passo 3
Calcular
.
- Primeiro escrevo
: - Agora substituo isso em
, isto é, com : - Substituindo
explicitamente: - Aplicando a identidade
(válida para ; aqui , portanto precisamos de , ou seja ): - Simplificando:
- Observação sobre domínio: essa simplificação só faz sentido quando
está definido, isto é, para . Dentro desse domínio, .
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro escrevo
: - Substituo em
com : - Substituindo
: - Simplificando dentro do logaritmo:
- Aplicando a identidade
(válida para todo ; aqui ): - Observação sobre domínio:
é definida para todo , e o argumento do fica , portanto não há restrição adicional — para todo .
Passo 5
Calcular
.
- Substituo
dentro de : - Substituindo
: - Essa é a forma simplificada. Sobre domínio:
é definida para todo (pois a exponencial é definida em todo ), e a exponencial do resultado também está sempre definida, então está definida para todo .
Passo 6
Calcular
.
- Substituo
dentro de : - Substituindo
: - Essa é a forma simplificada. Agora a observação sobre domínio é importante: para
estar definida é necessário , ou seja . Além disso, para a entrada do segundo deve ser positiva: Isso equivale a Portanto o domínio de é (note que , que é maior que , então a condição mais restritiva é ).