Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
(g \circ f)(x)=g(f(x))

Passo 1

O enunciado pede: calcular, para cada par de funções f(x) e g(x), a composição (g\circ f)(x)=g(f(x)).
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — não foram dadas explicitamente as funções f e g.

Passo 2

Impossibilidade imediata: sem as expressões de f e g não há como calcular uma forma explícita para (g\circ f)(x). Isso porque a composição exige substituir a expressão de f(x) dentro da expressão de g. Sem essas expressões, não há cálculo possível.

Passo 3

Mesmo assim, é útil aprender passo a passo como calcular uma composição quando as funções forem dadas. Definição e ideia geral:
(g\circ f)(x)=g(f(x))
Isto significa: primeiro calcula-se a saída da função interna f aplicada a x (ou seja, f(x)); em seguida toma-se essa saída como entrada da função g (ou seja, avalia-se g em f(x)). As etapas concretas são listadas a seguir.

Passo 4

Procedimento prático (passo a passo que serve pra prova):
  1. Escrever explicitamente f(x).
  2. Escrever explicitamente g(u) usando uma letra auxiliar u para deixar claro que é entrada de g. Por exemplo, escreva g(u)=\dots.
  3. Substituir u por f(x) em g(u); ou seja, formar g(f(x)).
  4. Simplificar a expressão resultante (expandir, reduzir frações, racionalizar, etc.).
  5. Verificar o domínio: o domínio de g\circ f é o conjunto de x tais que x pertence ao domínio de f e f(x) pertence ao domínio de g.

Passo 5

Exemplo detalhado 1 (linear e polinomial) — faço passo a passo para mostrar como aplicar o procedimento:
Sejam f(x)=2x+1 e g(x)=x^{2}.
  • Passo A: f(x)=2x+1.
  • Passo B: g(u)=u^{2}.
  • Passo C: substituir u=f(x): g(f(x))=(f(x))^{2}=(2x+1)^{2}.
  • Passo D: simplificar (se pedido): (2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1.
  • Domínio: ambos são polinomiais, domínio é todo \mathbb{R}.
    Resultado: (g\circ f)(x)=4x^{2}+4x+1.

Passo 6

Exemplo detalhado 2 (com cuidado de domínio) — mostra por que verificar domínio é importante:
Sejam f(x)=\sqrt{x} e g(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Passo A: f(x)=\sqrt{x} tem domínio x\ge 0.
  • Passo B: g(u)=\dfrac{1}{u} não aceita u=0.
  • Passo C: g(f(x))=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Passo D: domínio: precisamos de x tal que x\ge 0 e \sqrt{x}\neq 0, ou seja x>0.
    Resultado: (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} com domínio x>0.

Passo 7

Resumo rápido (para você usar na prova): quando pedir (g\circ f)(x),
  • faça a substituição direta: escreva g(u) e troque u por f(x);
  • simplifique corretamente;
  • sempre cheque domínio (domínio de f e imagem de f compatível com domínio de g).
    Se as funções forem fornecidas no enunciado, aplicar exatamente estes passos para obter a resposta.

Resposta

Não é possível calcular (g\circ f)(x): as funções f e g não foram fornecidas.

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