Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=2 x+\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a única função
f(x)=2x+\frac{1}{2}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar a inversa f^{-1}(x).
  • (i) Determinar o domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x).
  • (ii) Verificar se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
  • (iii) Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).

Passo 2

Como se acha a inversa de uma função linear na prática (dica passo a passo): escrevemos y=f(x), trocamos x por y e resolvemos para a nova variável y. Vamos fazer isso devagar e com carinho.
Começo definindo
y=2x+\frac{1}{2}.
Agora isolo x em função de y. Subtraio \tfrac{1}{2} dos dois lados:
y-\frac{1}{2}=2x.
Divido ambos os lados por 2:
x=\frac{y-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{y}{2}-\frac{1}{4}.
Para obter a inversa troco os nomes das variáveis (porque a inversa troca entrada e saída): troco x\leftrightarrow y. Assim obtemos a fórmula da inversa:
f^{-1}(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}.

Passo 3

Agora vamos analisar domínio e imagem de f. Primeiro um pouco de teoria simples e direta: o domínio é o conjunto de entradas válidas (valores de x) e a imagem (ou contradomínio atingido) é o conjunto de valores que f(x) de fato assume.
Para \;f(x)=2x+\tfrac{1}{2}\;:
  • A função é definida para qualquer número real x (não há divisão por zero, raiz par de número negativo, etc.). Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Vou verificar que a imagem também é \mathbb{R}. Mostro injetividade e sobrejetividade de forma direta:
    • Injetividade: se f(x_1)=f(x_2) então 2x_1+\tfrac{1}{2}=2x_2+\tfrac{1}{2}. Subtraindo \tfrac{1}{2}: 2x_1=2x_2. Dividindo por 2: x_1=x_2. Logo é injetora.
    • Sobrejetividade: dado qualquer y\in\mathbb{R}, resolve-se y=2x+\tfrac{1}{2} para x e encontra-se x=\tfrac{y}{2}-\tfrac{1}{4}, que é um número real. Assim, qualquer y tem uma origem x. Logo é sobrejetora.
  • Sendo injetora e sobrejetora, f é bijetora e sua imagem é todo \mathbb{R}.
Portanto:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R},\qquad \text{Imagem}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 4

Para qualquer função bijetora a inversa tem domínio igual à imagem da função original, e imagem igual ao domínio da original. Como vimos que ambas são \mathbb{R}, segue que para f^{-1}:
\text{Domínio}\big(f^{-1}\big)=\mathbb{R},\qquad \text{Imagem}\big(f^{-1}\big)=\mathbb{R}.í

Passo 5

Verificar se f^{-1} é função de primeiro grau. Basta olhar a forma que achamos:
f^{-1}(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}.
Isto é da forma ax+b com a=\tfrac{1}{2} e b=-\tfrac{1}{4}, e a\neq0. Logo f^{-1} é sim uma função de primeiro grau. Comentário prático: a inversa de uma função afim ax+b (com a\neq0) é outra função afim \frac{1}{a}x-\frac{b}{a}.

Passo 6

Agora o ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}. Observação útil (e muito usada em prova): os gráficos de f e f^{-1} são simétricos em relação à reta y=x. Os pontos de interseção entre os dois gráficos estão sobre a reta y=x, ou seja, resolvem f(x)=x. Vou resolver isso.
Coloco f(x)=x:
2x+\frac{1}{2}=x.
Subtraio x dos dois lados:
x+\frac{1}{2}=0.
Logo
x=-\frac{1}{2}.
O valor de y correspondente é y=f(x). Calculando:
y=2\Big(-\frac{1}{2}\Big)+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Portanto o ponto de interseção é \big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\big).
(Verificação alternativa: poderia resolver f(x)=f^{-1}(x). Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.)

Passo 7

Resumo final e checagem rápida: a inversa calculada é consistente com a propriedade f\big(f^{-1}(x)\big)=x. Um pequeno teste numérico: pegue x=0. f(0)=\tfrac{1}{2}. Aplicando a inversa a \tfrac{1}{2}: f^{-1}\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=0. Beleza — funciona.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R},\\ \text{Imagem}(f)=\mathbb{R};\\ \text{Domínio}\big(f^{-1}\big)=\mathbb{R},\\ \text{Imagem}\big(f^{-1}\big)=\mathbb{R}íí
Sim. f^{-1}(x) é função de primeiro grau (coeficiente angular \tfrac{1}{2}).
Ponto de interseção: \big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\big).

Exercícios relacionados