Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado nos dá a única função
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar a inversa
. - (i) Determinar o domínio e a imagem de
e de . - (ii) Verificar se
também é uma função de primeiro grau. - (iii) Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de
e .
Passo 2
Como se acha a inversa de uma função linear na prática (dica passo a passo): escrevemos
, trocamos
por
e resolvemos para a nova variável
. Vamos fazer isso devagar e com carinho.
Começo definindo
Agora isolo
em função de
. Subtraio
dos dois lados:
Divido ambos os lados por
:
Para obter a inversa troco os nomes das variáveis (porque a inversa troca entrada e saída): troco
. Assim obtemos a fórmula da inversa:
Passo 3
Agora vamos analisar domínio e imagem de
. Primeiro um pouco de teoria simples e direta: o domínio é o conjunto de entradas válidas (valores de
) e a imagem (ou contradomínio atingido) é o conjunto de valores que
de fato assume.
Para
:
- A função é definida para qualquer número real
(não há divisão por zero, raiz par de número negativo, etc.). Logo o domínio é . - Vou verificar que a imagem também é
. Mostro injetividade e sobrejetividade de forma direta: - Injetividade: se
então . Subtraindo : . Dividindo por : . Logo é injetora. - Sobrejetividade: dado qualquer
, resolve-se para e encontra-se , que é um número real. Assim, qualquer tem uma origem . Logo é sobrejetora.
- Injetividade: se
- Sendo injetora e sobrejetora,
é bijetora e sua imagem é todo .
Portanto:
Passo 4
Para qualquer função bijetora a inversa tem domínio igual à imagem da função original, e imagem igual ao domínio da original. Como vimos que ambas são
, segue que para
:
Passo 5
Verificar se
é função de primeiro grau. Basta olhar a forma que achamos:
Isto é da forma
com
e
, e
. Logo
é sim uma função de primeiro grau. Comentário prático: a inversa de uma função afim
(com
) é outra função afim
.
Passo 6
Agora o ponto de interseção entre os gráficos de
e
. Observação útil (e muito usada em prova): os gráficos de
e
são simétricos em relação à reta
. Os pontos de interseção entre os dois gráficos estão sobre a reta
, ou seja, resolvem
. Vou resolver isso.
Coloco
:
Subtraio
dos dois lados:
Logo
O valor de
correspondente é
. Calculando:
Portanto o ponto de interseção é
.
(Verificação alternativa: poderia resolver
. Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.)
Passo 7
Resumo final e checagem rápida: a inversa calculada é consistente com a propriedade
. Um pequeno teste numérico: pegue
.
. Aplicando a inversa a
:
. Beleza — funciona.
Resposta
Sim.
Ponto de interseção: