Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=1-\frac{x}{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dado: f(x)=1-\dfrac{x}{3}.
  • Pedidos:
    1. Determinar a inversa f^{-1}(x).
    2. Verificar o domínio e a imagem de f(x) e de f^{-1}(x).
    3. Verificar se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
    4. Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).

Passo 2

O que significa achar a inversa e o método prático:
  • Definição curta: a inversa f^{-1} troca domínio e imagem de f e satisfaz
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
  • Método padrão (passo a passo): escrever y=f(x), trocar x e y e resolver para y. Isso dá a fórmula de f^{-1}(x).

Passo 3

Aplicando o método à função dada:
  • Começo escrevendo
y=1-\dfrac{x}{3}.
  • Troco x e y:
x=1-\dfrac{y}{3}.
  • Agora isolo y. Primeiro passo: passar termos
\dfrac{y}{3}=1-x.
  • Multiplicando por 3:
y=3(1-x)=3-3x.
Portanto
f^{-1}(x)=3-3x.

Passo 4

Verificação por composição (teste que realmente é inversa):
  • Calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\bigl(3-3x\bigr)=1-\dfrac{3-3x}{3}=1-(1-x)=x.
  • Calcular f^{-1}\bigl(f(x)\bigr):
f^{-1}\Bigl(1-\dfrac{x}{3}\Bigr)=3-3\Bigl(1-\dfrac{x}{3}\Bigr)=3-3+ x = x.
As duas composições retornam x, logo a fórmula encontrada é realmente a inversa.

Passo 5

Determinar domínio e imagem de f e de f^{-1}:
  • Observação: uma função afim (reta) da forma ax+b com a\neq0 está definida para todo x\in\mathbb{R} e sua imagem também é \mathbb{R} (porque, dado qualquer valor y\in\mathbb{R}, sempre existe x\in\mathbb{R} que gera esse y).
  • Para f(x)=1-\dfrac{x}{3} (que é da forma ax+b com a=-\tfrac{1}{3}\neq0):
    • Domínio de f: \mathbb{R}.
    • Imagem de f: \mathbb{R}.
  • Para f^{-1}(x)=3-3x (da forma ax+b com a=-3\neq0):
    • Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}.
    • Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}.
  • Relação importante: o domínio de f é a imagem de f^{-1} e a imagem de f é o domínio de f^{-1}. Aqui ambos são \mathbb{R}.

Passo 6

Verificar se f^{-1} é função de primeiro grau:
  • Uma função de primeiro grau (função afim) tem forma ax+b com a\neq0.
  • Escrevendo f^{-1}(x)=3-3x já vemos que é da forma a x + b com a=-3 e b=3.
  • Conclusão: sim, f^{-1} é uma função de primeiro grau.

Passo 7

Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}:
  • Interseção significa pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente y=f(x) e y=f^{-1}(x). Então basta resolver
1-\dfrac{x}{3}=3-3x.
  • Resolver passo a passo: multiplicar por 3 para eliminar denominador:
3-x=9-9x.
  • Colocar termos com x de um lado:
- x +9x = 9-3
8x=6
x=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}.
  • O valor de y é y=f(x). Calcular:
y=1-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
  • Portanto o ponto de interseção é \left(\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{4}\right).
  • Observação geral: interseções entre uma função e sua inversa costumam ocorrer em pontos que satisfazem f(x)=x, isto é, pontos fixos; estes pontos estão sobre a reta y=x. Aqui deu exatamente isso.

Resposta

f^{-1}(x)=3-3x
Domínio de f: \mathbb{R}; Imagem de f: \mathbb{R}.
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}; Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}.
f^{-1} é função de primeiro grau: Sim, f^{-1}(x)=-3x+3.
Ponto de interseção: \left(\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{4}\right)

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