Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Dado:
. - Pedidos:
- Determinar a inversa
. - Verificar o domínio e a imagem de
e de . - Verificar se
também é uma função de primeiro grau. - Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de
e .
- Determinar a inversa
Passo 2
O que significa achar a inversa e o método prático:
- Definição curta: a inversa
troca domínio e imagem de e satisfaz
- Método padrão (passo a passo): escrever
, trocar e e resolver para . Isso dá a fórmula de .
Passo 3
Aplicando o método à função dada:
- Começo escrevendo
- Troco
e :
- Agora isolo
. Primeiro passo: passar termos
- Multiplicando por
:
Portanto
Passo 4
Verificação por composição (teste que realmente é inversa):
- Calcular
:
- Calcular
:
As duas composições retornam
, logo a fórmula encontrada é realmente a inversa.
Passo 5
Determinar domínio e imagem de
e de
:
- Observação: uma função afim (reta) da forma
com está definida para todo e sua imagem também é (porque, dado qualquer valor , sempre existe que gera esse ). - Para
(que é da forma com ): - Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
- Para
(da forma com ): - Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
- Relação importante: o domínio de
é a imagem de e a imagem de é o domínio de . Aqui ambos são .
Passo 6
Verificar se
é função de primeiro grau:
- Uma função de primeiro grau (função afim) tem forma
com . - Escrevendo
já vemos que é da forma com e . - Conclusão: sim,
é uma função de primeiro grau.
Passo 7
Determinar o ponto de interseção entre os gráficos de
e
:
- Interseção significa pontos
que satisfazem simultaneamente e . Então basta resolver
- Resolver passo a passo: multiplicar por
para eliminar denominador:
- Colocar termos com
de um lado:
- O valor de
é . Calcular:
- Portanto o ponto de interseção é
. - Observação geral: interseções entre uma função e sua inversa costumam ocorrer em pontos que satisfazem
, isto é, pontos fixos; estes pontos estão sobre a reta . Aqui deu exatamente isso.
Resposta
Domínio de
Domínio de
Ponto de interseção: