Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=\sqrt{x}+4 x+2

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem” para a função
f(x)=\sqrt{x}+4 x+2.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é \,f(x)=\sqrt{x}+4x+2\,.
  • A raiz quadrada impõe que a expressão original só esteja definida para x\ge 0.
  • O pedido é calcular a derivada de primeira ordem f'(x) (ou seja, a derivada em função de x) e indicar onde essa derivada vale.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a raiz em potência para usar as regras de derivação mais simples. Lembrando que
\sqrt{x}=x^{1/2},
portanto podemos escrever
f(x)=x^{1/2}+4x+2.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, para funções g,h,
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Regra da constante: a derivada de uma constante c é zero:
\frac{d}{dx}c=0.
  • Regra do coeficiente: a derivada de k\cdot x (com k constante) é k:
\frac{d}{dx}(k x)=k.
  • Regra da potência (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Exemplo simples: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.

Passo 4

Agora aplicamos essas regras termo a termo em f(x)=x^{1/2}+4x+2.
  1. Derivada do primeiro termo x^{1/2} pelo power rule:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
  1. Derivada do segundo termo 4x pela regra do coeficiente:
\frac{d}{dx}(4x)=4.
  1. Derivada do terceiro termo 2 (constante):
\frac{d}{dx}(2)=0.
Somando as derivadas (linearidade):
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}+4.

Passo 5

Proceder a uma pequena simplificação para uma forma mais usual: x^{-1/2}=1/\sqrt{x}. Então
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+4.
Agora comentar sobre o domínio da derivada: a expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+4 só faz sentido para x>0 (pois \sqrt{x} no denominador exige x\neq 0). Em x=0 a derivada lateral direita de \sqrt{x} tende a +\infty, logo não existe derivada finita em x=0. Portanto f é diferenciável para todos os x>0, mas não é diferenciável em x=0.

Passo 6

Dica prática para a prova (curta e direta): ao ver \sqrt{x}, troque por x^{1/2} e aplique imediatamente a regra da potência. Some os termos. Sempre verifique o domínio (pontos onde aparecem denominadores com raiz são comuns para não esquecer que a derivada pode não existir ali).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+4,\quad x>0.
\displaystyle f'(0) não existe (a derivada é infinita em x=0).

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