Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede: “Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem” para a função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
- A raiz quadrada impõe que a expressão original só esteja definida para
. - O pedido é calcular a derivada de primeira ordem
(ou seja, a derivada em função de ) e indicar onde essa derivada vale.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a raiz em potência para usar as regras de derivação mais simples. Lembrando que
portanto podemos escrever
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, para funções
,
- Regra da constante: a derivada de uma constante
é zero:
- Regra do coeficiente: a derivada de
(com constante) é :
- Regra da potência (power rule): para
real,
Exemplo simples:
.
Passo 4
Agora aplicamos essas regras termo a termo em
.
- Derivada do primeiro termo
pelo power rule:
- Derivada do segundo termo
pela regra do coeficiente:
- Derivada do terceiro termo
(constante):
Somando as derivadas (linearidade):
Passo 5
Proceder a uma pequena simplificação para uma forma mais usual:
. Então
Agora comentar sobre o domínio da derivada: a expressão
só faz sentido para
(pois
no denominador exige
). Em
a derivada lateral direita de
tende a
, logo não existe derivada finita em
. Portanto
é diferenciável para todos os
, mas não é diferenciável em
.
Passo 6
Dica prática para a prova (curta e direta): ao ver
, troque por
e aplique imediatamente a regra da potência. Some os termos. Sempre verifique o domínio (pontos onde aparecem denominadores com raiz são comuns para não esquecer que a derivada pode não existir ali).