Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=\frac{1}{x}+2

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem.” A função dada é
f(x)=\frac{1}{x}+2.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A função é composta por duas parcelas: \frac{1}{x} e 2.
  • A função não está definida em x=0 (porque \frac{1}{x} não existe em x=0).
    A pergunta concreta que vamos responder é: qual é f'(x), a derivada de primeira ordem de f, e para quais x essa derivada existe?

Passo 2

O que significa “derivada”? Vou lembrar rapidamente o conceito. A derivada f'(x) em um ponto x é o limite que mede a taxa de variação instantânea de f em x. Pela definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é um incremento pequeno em x. Essa definição é a base, mas em provas a gente costuma usar regras que foram deduzidas a partir dessa definição para acelerar o cálculo.

Passo 3

Como escolher o método? A função é simples: \frac{1}{x}+2. A maneira mais direta é reescrever \frac{1}{x} como potência de x, porque há uma regra muito prática (a regra do expoente) que facilita tudo. Não é obrigatório, mas é o caminho mais curto em prova. Vou mostrar também, para reforçar, a verificação usando a definição por limite ou usando a regra do quociente — assim você aprende alternativas.

Passo 4

Regra do expoente (power rule): para um número real n, a derivada de x^n (quando faz sentido) é
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente constante e x é a variável. Exemplo rápido para fixar: se n=2, então \frac{d}{dx}(x^2)=2x^{1}=2x. Essa regra vale também para n=-1 (o caso x^{-1}=\tfrac{1}{x}), desde que x\neq 0.

Passo 5

Reescrevo a função usando potência:
f(x)=x^{-1}+2.
Aplico a regra do expoente à parcela x^{-1}. Pelo power rule:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=(-1)\,x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(2)=0.
Como a derivada é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas), juntando as duas parcelas obtemos
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+0=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Verificação alternativa rápida usando a regra do quociente (só pra você ver outra rota): para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0,
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
No caso de \dfrac{1}{x} tomo u(x)=1 e v(x)=x. Então u'(x)=0 e v'(x)=1. Assim
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{0\cdot x - 1\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}},
mesmo resultado — bom para validar.

Passo 7

Domínio da derivada: como todas as manipulações envolvem dividir por x^{2}, a derivada existe para todos os x tais que x\neq 0. Ou seja, f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} para x\neq 0.

Passo 8

Dica de prova/tempo: em prova, reescrever \dfrac{1}{x} como x^{-1} e aplicar a regra do expoente é o jeito mais rápido e seguro. Se ficar na dúvida, use a regra do quociente — ela também é direta nesse caso. E não esqueça de checar o domínio (ponto importante para justificar onde a derivada existe).

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}},\quad x\neq 0

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