Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede: “Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem.” A função dada é
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- A função é composta por duas parcelas:
e . - A função não está definida em
(porque não existe em ).
A pergunta concreta que vamos responder é: qual é, a derivada de primeira ordem de , e para quais essa derivada existe?
Passo 2
O que significa “derivada”? Vou lembrar rapidamente o conceito. A derivada
em um ponto
é o limite que mede a taxa de variação instantânea de
em
. Pela definição:
quando esse limite existe. Aqui
é um incremento pequeno em
. Essa definição é a base, mas em provas a gente costuma usar regras que foram deduzidas a partir dessa definição para acelerar o cálculo.
Passo 3
Como escolher o método? A função é simples:
. A maneira mais direta é reescrever
como potência de
, porque há uma regra muito prática (a regra do expoente) que facilita tudo. Não é obrigatório, mas é o caminho mais curto em prova. Vou mostrar também, para reforçar, a verificação usando a definição por limite ou usando a regra do quociente — assim você aprende alternativas.
Passo 4
Regra do expoente (power rule): para um número real
, a derivada de
(quando faz sentido) é
Aqui
é o expoente constante e
é a variável. Exemplo rápido para fixar: se
, então
. Essa regra vale também para
(o caso
), desde que
.
Passo 5
Reescrevo a função usando potência:
Aplico a regra do expoente à parcela
. Pelo power rule:
A derivada de uma constante é zero:
Como a derivada é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas), juntando as duas parcelas obtemos
Passo 6
Verificação alternativa rápida usando a regra do quociente (só pra você ver outra rota): para
com
,
No caso de
tomo
e
. Então
e
. Assim
mesmo resultado — bom para validar.
Passo 7
Domínio da derivada: como todas as manipulações envolvem dividir por
, a derivada existe para todos os
tais que
. Ou seja,
para
.
Passo 8
Dica de prova/tempo: em prova, reescrever
como
e aplicar a regra do expoente é o jeito mais rápido e seguro. Se ficar na dúvida, use a regra do quociente — ela também é direta nesse caso. E não esqueça de checar o domínio (ponto importante para justificar onde a derivada existe).