Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=e^4y na direção do vetor vec a=(4,0) no ponto P=(tfrac12,tfrac14). Para isso vamos usar o conceito de gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Para obter o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais.
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)=l(0,4e^4yr)

Passo 3

Agora precisamos do vetor unitário na direção de vec a. Primeiro a norma de vec a:
|vec a|=raiz4^2+0^2=4
Em seguida:
vec u=vec a|vec a|=l(1,0r)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente em P e vec u. Avaliando o gradiente em P:
nabla fl(tfrac12,tfrac14r)=l(0,4e^4cdottfrac14r)=(0,4e)
Logo:
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u=(0,4e)cdot(1,0)=0

Resposta

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