Mostre que f:(0, infty) R se mathscrL f(s) for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular f(t)=t^2 sinh t se:

Passo 1

A questão pede para mostrar que ao derivar n vezes a transformada de Laplace de uma função f em relação a s, isso equivale à transformada de Laplace de (–t)^n·f(t). O conteúdo é transformação de Laplace e a troca de derivada e integral. Depois, vamos usar esse resultado para calcular mathscrLt^2sinh t(s).

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace: para Re(s) suficientemente grande,
mathscrLf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Como f tem crescimento exponencial, podemos trocar derivação e integração. Para n=1:
ddsmathscrLf(s)=ddsintegral0^inftye^-stf(t),dt=integral0^inftypartialpartial s(e^-stf(t)),dt=integral0^infty(-t)e^-stf(t),dt=mathscrL(-t)f(t)(s)

Passo 3

Por indução, se vale para n, ao derivar mais uma vez a expressão mathscrL(-t)^n f(t)(s) surgirá um fator extra -t), provando que
d^nds^nmathscrLf(s)=mathscrL(-t)^n f(t)(s)

Passo 4

Agora, para calcular mathscrLt^2sinh t(s), note que t^2 =(-1)^2(-t)^2. Como (-1)^2=1, temos
mathscrLt^2sinh t(s)=mathscrL(-t)^2sinh t(s)=d^2ds^2mathscrLsinh t(s)

Passo 5

Sabemos que sinh t=tfrace^t-e^-t2 e que
mathscrLsinh t(s)=12l(1s-1-1s+1r)=1s^2-1

Passo 6

Basta então derivar duas vezes: chamando F(s)=1/(s^2-1),
F'(s)=-2s(s^2-1)^-2,
$$F’’(s)=\frac{d}{ds}\bigl[-2s(s2-1){-2}\bigr]=-2(s2-1){-2}+8s2(s2-1){-3}=\frac{2(3s2+1)}{(s2-1)3}.
$$

Resposta

mathscrLt^2sinh t(s)=2(3s^2+1)(s^2-1)^3

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