Mostre que
se
for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular
se:
Passo 1
A questão pede para mostrar que ao derivar n vezes a transformada de Laplace de uma função f em relação a s, isso equivale à transformada de Laplace de (–t)^n·f(t). O conteúdo é transformação de Laplace e a troca de derivada e integral. Depois, vamos usar esse resultado para calcular
.
Passo 2
Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace: para
suficientemente grande,
Como f tem crescimento exponencial, podemos trocar derivação e integração. Para n=1:
Passo 3
Por indução, se vale para n, ao derivar mais uma vez a expressão
surgirá um fator extra
, provando que
Passo 4
Agora, para calcular
, note que
. Como
, temos
Passo 5
Sabemos que
e que
Passo 6
Basta então derivar duas vezes: chamando
,
$$F’’(s)=\frac{d}{ds}\bigl[-2s(s2-1){-2}\bigr]=-2(s2-1){-2}+8s2(s2-1){-3}=\frac{2(3s2+1)}{(s2-1)3}.
$$