Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de \f\(x,y)=\frac{x2-y2}{x2+y2} ao longo do vetor \vec{a}=(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}2) no ponto P=(3,4). O conteúdo envolvido é derivada direcional, que se calcula como produto escalar entre o gradiente de f e o vetor direção unitário.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f aplicando a regra do quociente. Defina \displaystyle N=x2-y2 e \displaystyle D=x2+y2. Então
\nabla f(x,y)=\biggl(\frac{4xy2}{(x2+y2)2},-\frac{4x2y}{(x2+y2)2}\biggr).$$

Passo 3

Agora avaliamos em P=(3,4): aqui x2+y2=9+16=25 e (x2+y2)^2=625. Assim
$ nabla f(3,4)=l(4cdot3cdot4^2625,-4cdot3^2cdot4625r)=l(192625,-144625r)

Passo 4

O vetor \vec{a} já é unitário (\tfrac122+(\tfrac{\sqrt3}2)2=1). Então a derivada direcional é
$ Daf(3,4)=nabla f(3,4)cdota=192625cdot12+l(-144625r)cdotl(-raiz32r)=192+144raiz31250

Resposta

$\displaystyle D_{\vec{a}}f(3,4)=\frac{192+144\sqrt{3}}{1250}$

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