Para cada função
calcule a derivada direcional de
ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto
.
Passo 1
A questão pede a derivada direcional de \f\(x,y)=\frac{x2-y2}{x2+y2} ao longo do vetor \vec{a}=(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}2) no ponto P=(3,4). O conteúdo envolvido é derivada direcional, que se calcula como produto escalar entre o gradiente de f e o vetor direção unitário.
Passo 2
Vamos achar o gradiente de f aplicando a regra do quociente. Defina \displaystyle N=x2-y2 e \displaystyle D=x2+y2. Então
\nabla f(x,y)=\biggl(\frac{4xy2}{(x2+y2)2},-\frac{4x2y}{(x2+y2)2}\biggr).$$
Passo 3
Agora avaliamos em P=(3,4): aqui x2+y2=9+16=25 e (x2+y2)^2=625. Assim
$
Passo 4
O vetor \vec{a} já é unitário (\tfrac122+(\tfrac{\sqrt3}2)2=1). Então a derivada direcional é
$
Resposta
$\displaystyle D_{\vec{a}}f(3,4)=\frac{192+144\sqrt{3}}{1250}$