Para cada função, obtenha a sua representação em série de potências em torno de
. No item a), determine também o raio de convergência da série.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x) = \frac{1}{x^{2}} $ e precisa encontrar a sua representação em série de potências em torno de $ x_{0} = 1 $. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ (x - 1) $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e, especificamente, a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos deixar $ h = x - 1 $, assim $ x = 1 + h $. Substituindo na função temos:
Agora, nossa função está em termos de $ h $, que é a diferença entre $ x $ e o ponto de expansão 1.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Queremos manipular a nossa função para se parecer com essa série. Observando, percebemos que podemos relacionar $ \frac{1}{(1 + h)^{2}} $ com a derivada da série geométrica.
Passo 4
Vamos começar lembrando que:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ h $:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Vamos reindexar a soma para facilitar:
Passo 5
Agora, substituímos $ h = x - 1 $ de volta na expressão:
Passo 6
Para determinar o raio de convergência da série, lembramos que a série geométrica converge quando:
Portanto, o raio de convergência $ R $ é 1.
Resposta
A representação em série de potências de $ g(x) = \frac{1}{x^{2}} $ em torno de $ x_{0} = 1 $ é:
E o raio de convergência da série é $ R = 1 $.