Para cada função, obtenha a sua representação em série de potências em torno de x=x0. No item a), determine também o raio de convergência da série.
(1 ponto) g(x)=1x^2, x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x) = \frac{1}{x^{2}} $ e precisa encontrar a sua representação em série de potências em torno de $ x_{0} = 1 $. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ (x - 1) $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e, especificamente, a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos deixar $ h = x - 1 $, assim $ x = 1 + h $. Substituindo na função temos:
h = x - 1
Agora, nossa função está em termos de $ h $, que é a diferença entre $ x $ e o ponto de expansão 1.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n, para |r| < 1
Queremos manipular a nossa função para se parecer com essa série. Observando, percebemos que podemos relacionar $ \frac{1}{(1 + h)^{2}} $ com a derivada da série geométrica.

Passo 4

Vamos começar lembrando que:
11 + h = sumn=0^infty (-1)^n h^n, para |h| < 1
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ h $:
h
Isso resulta em:
ddh(11 + h) = ddh(sumn=0^infty (-1)^n h^n)
Multiplicando ambos os lados por -1:
-1(1 + h)^2 = sumn=1^infty (-1)^n n h^n-1
Vamos reindexar a soma para facilitar:
1(1 + h)^2 = sumn=1^infty (-1)^n+1 n h^n-1

Passo 5

Agora, substituímos $ h = x - 1 $ de volta na expressão:
h = x - 1

Passo 6

Para determinar o raio de convergência da série, lembramos que a série geométrica converge quando:
|h| = |x - 1| < 1
Portanto, o raio de convergência $ R $ é 1.

Resposta

A representação em série de potências de $ g(x) = \frac{1}{x^{2}} $ em torno de $ x_{0} = 1 $ é:
g(x) = 1x^2
E o raio de convergência da série é $ R = 1 $.

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