Determine se a série converge ou diverge.
(1 ponto) sumn=0^infty 3^nn!(n^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=0^infty 3^nn!(n^2+1) converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas na Matemática, especificamente nos testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar um teste que nos ajude a verificar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um teste de convergência adequado. Dado que temos n! no denominador e 3^n no numerador, o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) é uma boa opção. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries que envolvem fatoriais e potências.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo geral seguinte e o termo geral atual da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Matematicamente, isso fica:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = 3^nn!(n^2+1).

Passo 4

Vamos calcular essa razão:
an+1an = 3^n+1(n+1)!((n+1)^2+1) times n!(n^2+1)3^n = 3 cdot (n^2+1)(n+1)(n^2+2n+2)
Simplificando:
an+1an = 3 (n^2+1)(n+1)(n^2+2n+2)
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 3 (n^2+1)(n+1)(n^2+2n+2) = limn to infty 3n^2n cdot n^2 = limn to infty 3n^2n^3 = limn to infty 3n = 0

Passo 5

Como o limite L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty 3^nn!(n^2+1) converge.

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