Obtenha a solução geral da EDO
.
Passo 1
Beleza, temos o seguinte exercício: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial de quarta ordem $ y^{(4)} - y = \sin(2x) $. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver equações não homogêneas. Precisaremos achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea $ y^{(4)} - y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica $ r^4 - 1 = 0 $, temos:
Portanto, as raízes são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y^{(4)} - y = \sin(2x) $. Usamos o método dos coeficientes a determinar.
Passo 7
Como o termo não homogêneo é $ \sin(2x) $, tentamos uma solução particular da forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Calculamos as derivadas necessárias de $ y_p(x) $:
Passo 9
Substituímos $ y_p’’’’ $ e $ y_p $ na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.