Obtenha a solução geral da EDO y^(4)-y=sen(2 x).
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, temos o seguinte exercício: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial de quarta ordem $ y^{(4)} - y = \sin(2x) $. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver equações não homogêneas. Precisaremos achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea $ y^{(4)} - y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^4 e^rx - e^rx = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica $ r^4 - 1 = 0 $, temos:
r^4 - 1 = 0
Portanto, as raízes são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos(x) + C4 sin(x)
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y^{(4)} - y = \sin(2x) $. Usamos o método dos coeficientes a determinar.

Passo 7

Como o termo não homogêneo é $ \sin(2x) $, tentamos uma solução particular da forma:
sin(2x)
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculamos as derivadas necessárias de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp' = -2A sin(2x) + 2B cos(2x)
yp'' = -4A cos(2x) - 4B sin(2x)
yp''' = 8A sin(2x) - 8B cos(2x)

Passo 9

Substituímos $ y_p’’’’ $ e $ y_p $ na equação diferencial:
yp''''
Simplificando:
yp
16A cos(2x) + 16B sin(2x) - (A cos(2x) + B sin(2x)) = sin(2x)

Passo 10

Igualando os coeficientes:
15A = 0 implies A = 0
15B = 1 implies B = 115
Então, a solução particular é:
yp(x) = 115 sin(2x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos(x) + C4 sin(x) + 115 sin(2x)
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

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