Para cada função, obtenha a sua representação em série de potências em torno de
. No item a), determine também o raio de convergência da série.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a representação em série de potências da função $ f(x) = \frac{x^{3}}{16 + x^{2}} $ em torno de $ x_0 = 0 $. Além disso, também precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série de potências e técnicas de manipulação algébrica para reescrever a função de uma forma que facilite a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a função de forma que a gente consiga identificar uma série geométrica, que é mais fácil de expandir. Temos:
Podemos fatorar o denominador para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série geométrica é dada por:
No nosso caso, queremos que o denominador fique na forma
, então vamos ajustar:
Assim, podemos aplicar a série geométrica substituindo $ r $ por $ -\frac{x^{2}}{16} $:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de $ f(x) $:
Podemos simplificar mais:
Passo 5
Então, a série de potências de $ f(x) $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a achar o valor de $ x $ para o qual a série converge.
A fórmula do critério da razão é:
Onde $ a_n = (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n + 3}}{16^{n + 1}} $.
Vamos calcular:
Tomando o valor absoluto e o limite:
Para a série convergir, $ L < 1 $:
Então, o raio de convergência $ R $ é 4.
Resposta
A série de potências de $ f(x) = \frac{x^{3}}{16 + x^{2}} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
E o raio de convergência dessa série é $ R = 4 $.