Para cada função, obtenha a sua representação em série de potências em torno de x=x0. No item a), determine também o raio de convergência da série.
(1.5 ponto) f(x)=x^316+x^2, x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a representação em série de potências da função $ f(x) = \frac{x^{3}}{16 + x^{2}} $ em torno de $ x_0 = 0 $. Além disso, também precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série de potências e técnicas de manipulação algébrica para reescrever a função de uma forma que facilite a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função de forma que a gente consiga identificar uma série geométrica, que é mais fácil de expandir. Temos:
f(x) = x^316 + x^2
Podemos fatorar o denominador para facilitar:
f(x) = x^316 (1 + x^216) = x^316 cdot 11 + x^216

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série geométrica é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n, para |r| < 1
No nosso caso, queremos que o denominador fique na forma 1 - r, então vamos ajustar:
11 + x^216 = 11 - (-x^216)
Assim, podemos aplicar a série geométrica substituindo $ r $ por $ -\frac{x^{2}}{16} $:
r

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de $ f(x) $:
f(x)
Podemos simplificar mais:

Passo 5

Então, a série de potências de $ f(x) $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
f(x)

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a achar o valor de $ x $ para o qual a série converge.
A fórmula do critério da razão é:
x
Onde $ a_n = (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n + 3}}{16^{n + 1}} $.
Vamos calcular:
Tomando o valor absoluto e o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Para a série convergir, $ L < 1 $:
an = (-1)^n cdot x^2n + 316^n + 1
Então, o raio de convergência $ R $ é 4.

Resposta

A série de potências de $ f(x) = \frac{x^{3}}{16 + x^{2}} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
f(x) = x^316 + x^2
E o raio de convergência dessa série é $ R = 4 $.

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