A transformada de Laplace da solução de um PVI é dada por L(y)(s)=e^-ss(s^2+2 s+2). Obtenha a solução desse PVI.
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a transformada de Laplace da solução de um Problema de Valor Inicial (PVI), que é $ L(y)(s) = \frac{e{-s}}{s\left(s{2}+2s+2\right)} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função $ y(t) $ que resolve esse PVI. Para isso, vamos precisar usar a transformada inversa de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio de $ s $ para o tempo $ t $. Também vamos precisar fazer uma fração parcial para simplificar a expressão e facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ L(y)(s) = \frac{e{-s}}{s\left(s{2}+2s+2\right)} $. A presença do termo $ e^{-s} $ indica um deslocamento no tempo, mas antes de lidar com isso, vamos focar na fração $ \frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)} $. Para facilitar, vamos decompor essa fração em termos mais simples usando a fração parcial.

Passo 3

Vamos escrever:
1s(s^2+2s+2) = As + Bs + Cs^2+2s+2
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ que tornam essa igualdade válida. Multiplicando ambos os lados por $ s\left(s^{2}+2s+2\right) $, temos:
A
Expandindo:
B
Agrupando termos semelhantes:
C
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ s $ dos dois lados da equação:
Para $ s^{2} $:
s(s^2+2s+2)
Para $ s $:
1 = A(s^2+2s+2) + (Bs + C)s
Para o termo constante:
1 = A s^2 + 2A s + 2A + Bs^2 + Cs

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De $ 2A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{2} $.
  2. Substituindo $ A $ em $ A + B = 0 $:
2A = 1
  1. Substituindo $ A $ em $ 2A + C = 0 $:
A = 12
Então, os valores são $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -\frac{1}{2} $ e $ C = -1 $.

Passo 5

Substituindo esses valores de volta na decomposição de fração parcial, temos:
1s(s^2+2s+2) = 12s + -12s -1s^2+2s+2
Simplificando:
1s(s^2+2s+2) = 12s - s + 22(s^2+2s+2)

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original com o $ e^{-s} $:
e^-s
A transformada inversa de Laplace da função $ e^{-s}F(s) $ é uma função deslocada no tempo, ou seja, $ u(t - a)f(t - a) $, onde $ a = 1 $.

Passo 7

Vamos calcular a transformada inversa de cada termo separadamente:
  1. Para $ \frac{1}{2s} $:
12s
  1. Para $ \frac{s + 2}{2\left(s^{2}+2s+2\right)} $:
    Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
L^-1 ( 12s ) = 12
Então, temos:
s + 22(s^2+2s+2)
As transformadas inversas são:
s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1
s + 22((s + 1)^2 +1) = (s +1) +12((s +1)^2 +1) = s +12((s +1)^2 +1) + 12((s +1)^2 +1)
Então, juntando:
s +12((s +1)^2 +1) 12e^-tcos(t)

Passo 8

Agora, reunindo tudo com o deslocamento dado pelo $ e^{-s} $, que corresponde a um atraso de $ t =1 $, temos:
e^-s
Simplificando:
t =1

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 12 , u(t - 1) [ 1 - e^-(t-1) ( cos(t -1) + sin(t -1) ) ]
onde $ u(t -1) $ é a função degrau de Heaviside que assegura que a solução começa no instante $ t =1 $.

Exercícios relacionados