A transformada de Laplace da solução de um PVI é dada por
. Obtenha a solução desse PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a transformada de Laplace da solução de um Problema de Valor Inicial (PVI), que é $ L(y)(s) = \frac{e{-s}}{s\left(s{2}+2s+2\right)} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função $ y(t) $ que resolve esse PVI. Para isso, vamos precisar usar a transformada inversa de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio de $ s $ para o tempo $ t $. Também vamos precisar fazer uma fração parcial para simplificar a expressão e facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ L(y)(s) = \frac{e{-s}}{s\left(s{2}+2s+2\right)} $. A presença do termo $ e^{-s} $ indica um deslocamento no tempo, mas antes de lidar com isso, vamos focar na fração $ \frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)} $. Para facilitar, vamos decompor essa fração em termos mais simples usando a fração parcial.
Passo 3
Vamos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ que tornam essa igualdade válida. Multiplicando ambos os lados por $ s\left(s^{2}+2s+2\right) $, temos:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ s $ dos dois lados da equação:
Para $ s^{2} $:
Para $ s $:
Para o termo constante:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
-
De $ 2A = 1 $, temos $ A = \frac{1}{2} $.
-
Substituindo $ A $ em $ A + B = 0 $:
- Substituindo $ A $ em $ 2A + C = 0 $:
Então, os valores são $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -\frac{1}{2} $ e $ C = -1 $.
Passo 5
Substituindo esses valores de volta na decomposição de fração parcial, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão original com o $ e^{-s} $:
A transformada inversa de Laplace da função $ e^{-s}F(s) $ é uma função deslocada no tempo, ou seja, $ u(t - a)f(t - a) $, onde $ a = 1 $.
Passo 7
Vamos calcular a transformada inversa de cada termo separadamente:
- Para $ \frac{1}{2s} $:
- Para $ \frac{s + 2}{2\left(s^{2}+2s+2\right)} $:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, temos:
As transformadas inversas são:
Então, juntando:
Passo 8
Agora, reunindo tudo com o deslocamento dado pelo $ e^{-s} $, que corresponde a um atraso de $ t =1 $, temos:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é
onde $ u(t -1) $ é a função degrau de Heaviside que assegura que a solução começa no instante $ t =1 $.