Use o Teorema de Stokes para calcular em que e é o triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O problema pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender:
Teorema de Stokes: Relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral de superfície.
Cálculo do rotor (curl) do campo vetorial .
Parametrização da superfície limitada pela curva .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes:
Ou seja, a integral de linha da ao longo de é igual à integral dupla do rotor de sobre a superfície que tem como contorno, onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de . O rotor de um campo vetorial é dado por:
Para , temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície que é o triângulo com vértices em , e . Vamos usar coordenadas barycentricas ou parametrização linear.
Observando os vértices, podemos definir duas direções na superfície:
De para : vetor
De para : vetor
Então, uma parametrização para é:
onde , e .
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Calculamos o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e :
Produto vetorial:
Então, n = (0, -1, -1).
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Substituindo nabla times F = (-2z, -2x, -14y) e n = (0, -1, -1):
(nabla times F) cdot n = (-2z)(0) + (-2x)(-1) + (-14y)(-1) = 2x + 14y
Então, a integral se torna:
integral duplaS (2x + 14y), dS
Usando a parametrização r(s, t) = (s, 1 - t, t), temos x = s e y = 1 - t, e dS é o módulo do produto vetorial encontramos, que é raiz0^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz2. Porém, como parametrizamos diretamente, podemos incorporar o fator de escala no cálculo da integral.
Os limites de integração são s de 0 a 1 - t e t de 0 a 1.