Os polos de
f(z)=z^2z^4+5 z^2+6
são complexos com partes imaginárias não nulas ou algum deles é real? Justifique corretamente a sua resposta.

Passo 1

Começamos com a função f(z)=z^2z^4+5z^2+6. O que se pede é encontrar os polos, isto é, os valores de z que tornam o denominador zero. Vamos usar conceitos de análise de funções racionais e fatoração de polinômios.

Passo 2

Para achar os polos, resolvemos a equação do denominador igual a zero. Definimos w=z^2 para transformar o polinômio de grau 4 em um de grau 2. Assim temos:
w^2+5w+6=0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em w^2+5w+6=0. O discriminante é De. Logo,
w=-5pmraiz12=-5pm12
isto gera as raízes w1=-2 e w2=-3.

Passo 4

Voltando à variável z, temos duas equações:
z^2=-2 e z^2=-3
Daí extraímos
z=pmraiz-2=pm iraiz2, z=pmraiz-3=pm iraiz3

Passo 5

Portanto os polos de f são
z=pm iraiz2 e z=pm iraiz3. Todos têm parte real zero e parte imaginária não nula. Logo, não existe nenhum polo real.

Resposta

Os polos são z=pm iraiz2 e z=pm iraiz3, todos puramente imaginários (parte imaginária não nula) e não há polos reais.

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