Para cada função quadrática a seguir faça o esboço do gráfico identificando os seguintes elementos: eixo de simetria, coordenadas do vértice e os zeros (as raízes), caso existam. Por fim, faça o estudo do sinal dessas funções.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Fazer o esboço do gráfico da função
. - Identificar o eixo de simetria.
- Identificar as coordenadas do vértice.
- Encontrar os zeros (raízes), caso existam.
- Fazer o estudo do sinal de
(onde é positiva, nula ou negativa).
Informações dadas e observações iniciais (tiradas diretamente da expressão):
- A função é quadrática, da forma geral
. - Para
os coeficientes são , e . - Pelo sinal de
(aqui ), a parábola abre para baixo (isso afeta o formato do esboço, mas não vamos desenhar ainda).
Passo 2
Encontrar o vértice usando a fórmula do vértice.
Explicação da fórmula: para uma quadrática , a abscissa (coordenada
) do vértice é dada por
Explicação da fórmula: para uma quadrática
Essa fórmula vem de derivar a função (ou completar o quadrado) e localizar o ponto em que a derivada é zero — o máximo ou mínimo da parábola. Aqui vamos aplicar direto.
Cálculo para
:
Agora calculamos a ordenada do vértice substituindo
na função:
Portanto o vértice é
.
Complemento (completar o quadrado — outra forma de ver o vértice):
o que mostra diretamente que a forma canônica é
, confirmando o vértice em
.
Passo 3
Encontrar os zeros (raízes) da função.
Procedimento: resolver .
Procedimento: resolver
Equação:
Solução:
Também podemos fatorar a função para ver os sinais:
Daí os zeros são
e
.
Passo 4
Esboço do gráfico (descrição orientada para desenhar na prova):
- Eixo de simetria: a reta vertical
(o eixo ). - Vértice:
, ponto mais alto da parábola porque a parábola abre para baixo. - Zeros: pontos
e sobre o eixo . - Alguns pontos auxiliares para posicionar a curva:
, . Esses pontos mostram que a parábola desce suavemente dos em até em , e depois fica negativa para . - Forma: parábola simétrica em torno de
, com pico em , cortando o eixo em e abrindo para baixo.
Passo 5
Estudo do sinal de
usando a fatoração
.
Método: analisar sinais dos fatores em cada intervalo determinado pelas raízes
,
,
,
.
- Intervalo
: escolha um ponto teste, por exemplo . -
em é negativo; em é negativo; produto é positivo; com o sinal negativo à frente temos .
-
- Intervalo
: escolha . -
, ; produto é negativo; com o menos na frente temos .
-
- Intervalo
: escolha . -
, ; produto positivo; com o menos na frente .
-
Conclusão do estudo do sinal:
-
para . -
para e . -
para ou .
Resposta
Eixo de simetria:
Vértice:
Zeros (raízes):
Estudo do sinal:
para
;
para
;
para
ou