Para cada função quadrática a seguir faça o esboço do gráfico identificando os seguintes elementos: eixo de simetria, coordenadas do vértice e os zeros (as raízes), caso existam. Por fim, faça o estudo do sinal dessas funções.
g(x)=9-x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fazer o esboço do gráfico da função \,g(x)=9-x^{2}\,.
  • Identificar o eixo de simetria.
  • Identificar as coordenadas do vértice.
  • Encontrar os zeros (raízes), caso existam.
  • Fazer o estudo do sinal de \,g(x)\, (onde é positiva, nula ou negativa).
Informações dadas e observações iniciais (tiradas diretamente da expressão):
  • A função é quadrática, da forma geral \,g(x)=ax^{2}+bx+c.
  • Para \,g(x)=9-x^{2} os coeficientes são \,a=-1, \,b=0 e \,c=9.
  • Pelo sinal de \,a (aqui -1), a parábola abre para baixo (isso afeta o formato do esboço, mas não vamos desenhar ainda).

Passo 2

Encontrar o vértice usando a fórmula do vértice.
Explicação da fórmula: para uma quadrática \,f(x)=ax^{2}+bx+c, a abscissa (coordenada x) do vértice é dada por
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Essa fórmula vem de derivar a função (ou completar o quadrado) e localizar o ponto em que a derivada é zero — o máximo ou mínimo da parábola. Aqui vamos aplicar direto.
Cálculo para \,g(x)=9-x^{2}:
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2\cdot(-1)} = 0.
Agora calculamos a ordenada do vértice substituindo \,x_{v} na função:
y_{v} = g(0) = 9 - 0^{2} = 9.
Portanto o vértice é (0,9).
Complemento (completar o quadrado — outra forma de ver o vértice):
g(x)=9-x^{2} = -\bigl(x^{2}-9\bigr) = -\bigl((x-0)^{2}-9\bigr) = - (x-0)^{2} + 9,
o que mostra diretamente que a forma canônica é - (x-0)^{2}+9, confirmando o vértice em (0,9).

Passo 3

Encontrar os zeros (raízes) da função.
Procedimento: resolver \,g(x)=0.
Equação:
9 - x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=9.
Solução:
x = \pm 3.
Também podemos fatorar a função para ver os sinais:
g(x)=9-x^{2}=-(x^{2}-9)=-(x-3)(x+3).
Daí os zeros são \,x=-3 e \,x=3.

Passo 4

Esboço do gráfico (descrição orientada para desenhar na prova):
  • Eixo de simetria: a reta vertical \,x=0 (o eixo y).
  • Vértice: (0,9), ponto mais alto da parábola porque a parábola abre para baixo.
  • Zeros: pontos (-3,0) e (3,0) sobre o eixo x.
  • Alguns pontos auxiliares para posicionar a curva: \,g(1)=9-1=8, \,g(2)=9-4=5. Esses pontos mostram que a parábola desce suavemente dos 9 em x=0 até 0 em x=\pm3, e depois fica negativa para |x|>3.
  • Forma: parábola simétrica em torno de \,x=0, com pico em (0,9), cortando o eixo x em \pm3 e abrindo para baixo.

Passo 5

Estudo do sinal de \,g(x) usando a fatoração \,g(x)=-(x-3)(x+3).
Método: analisar sinais dos fatores em cada intervalo determinado pelas raízes \,-\infty, -3, 3, +\infty.
  • Intervalo \,(-\infty,-3): escolha um ponto teste, por exemplo \,x=-4.
    • (x+3) em \,x=-4 é negativo; (x-3) em \,x=-4 é negativo; produto (x-3)(x+3) é positivo; com o sinal negativo à frente temos g(x)<0.
  • Intervalo (-3,3): escolha \,x=0.
    • (x+3)=3>0, (x-3)=-3<0; produto é negativo; com o menos na frente temos g(x)>0.
  • Intervalo (3,\infty): escolha \,x=4.
    • (x+3)>0, (x-3)>0; produto positivo; com o menos na frente g(x)<0.
Conclusão do estudo do sinal:
  • \,g(x)>0 para -3<x<3.
  • \,g(x)=0 para x=-3 e x=3.
  • \,g(x)<0 para x<-3 ou x>3.

Resposta

Eixo de simetria: x=0
Vértice: (0,9)
Zeros (raízes): x=-3,\\ x=3
Estudo do sinal: g(x)>0 para -3<x<3; g(x)=0 para x=\pm 3; g(x)<0 para x<-3 ou x>3

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