Para cada função quadrática a seguir faça o esboço do gráfico identificando os seguintes elementos: eixo de simetria, coordenadas do vértice e os zeros (as raízes), caso existam. Por fim, faça o estudo do sinal dessas funções.
h(x)=-x^{2}+6 x

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e o que já temos:
  • Função dada: h(x)=-x^{2}+6x.
  • O enunciado pede: esboçar o gráfico da parábola e identificar (1) eixo de simetria, (2) coordenadas do vértice, (3) as raízes (zeros), caso existam, e (4) o estudo do sinal da função (onde é positiva, zero ou negativa).

Passo 2

Identificar os coeficientes e usar a fórmula do eixo de simetria.
Escrevendo a função no formato padrão ax^{2}+bx+c, tem-se:
a=-1,\qquad b=6,\qquad c=0.
O eixo de simetria de uma parábola ax^{2}+bx+c é a reta vertical
x = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a e b:
x = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = -\frac{6}{-2}=3.
Logo, o eixo de simetria é a reta x=3.

Passo 3

Determinar a abscissa do vértice (já é o eixo de simetria) e calcular a ordenada do vértice avaliando h naquele x.
A abscissa do vértice é x_V=3. A ordenada é
y_V = h(3) = -3^{2} + 6\cdot 3 = -9 + 18 = 9.
Portanto o vértice é o ponto (3,9).
Comentário didático curto: o vértice é o ponto máximo ou mínimo da parábola. Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo.

Passo 4

Calcular as raízes (zeros) usando a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot(-1)\cdot 0 = 36-0=36.
Como \Delta>0, há duas raízes reais distintas e elas são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{36}}{2\cdot(-1)}=\frac{-6\pm6}{-2}.
Calcule cada uma:
x_1=\frac{-6+6}{-2}=\frac{0}{-2}=0,\qquad x_2=\frac{-6-6}{-2}=\frac{-12}{-2}=6.
As raízes são x=0 e x=6, ou seja, os pontos (0,0) e (6,0) no gráfico.

Passo 5

Fazer o estudo do sinal da função usando as raízes e o sinal de a.
As raízes dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,0), (0,6) e (6,\infty). Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e, no caso de um polinômio quadrático com duas raízes reais, o sinal é:
  • negativo fora do intervalo entre as raízes,
  • positivo dentro do intervalo entre as raízes,
  • zero nas próprias raízes.
Testando rapidamente para confirmar (opcional e didático):
h(-1)=-(-1)^{2}+6(-1)=-1-6=-7<0\quad\text{(no intervalo }(-\infty,0)),
h(3)=-3^{2}+6\cdot3=-9+18=9>0\quad\text{(em }(0,6)),
h(7)=-7^{2}+6\cdot7=-49+42=-7<0\quad\text{(em }(6,\infty)).
Conclusão do estudo do sinal:
h(x)\begin{cases} <0, & x\in(-\infty,0)\cup(6,\infty),\\[4pt] =0, & x=0\\ \text{ou}\\ x=6,\\[4pt] >0, & x\in(0,6). \end{cases}]

Passo 6

Forma canônica (completar o quadrado) — técnica útil para esboçar rapidamente e ver o vértice:
Começa-se por fatorar -1:
h(x)=-x^{2}+6x = -\bigl(x^{2}-6x\bigr).
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9,
logo
h(x)=-\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) = -(x-3)^{2}+9.
Essa forma mostra diretamente que o vértice é (3,9) e que o valor máximo é 9 quando x=3; também confirma que a parábola abre para baixo por causa do sinal negativo em frente de (x-3)^{2}.

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prova (passos práticos e rápidos):
  1. Desenhe o eixo x e y. Marque o eixo de simetria vertical x=3.
  2. Coloque o vértice em (3,9). Esse é o ponto mais alto.
  3. Marque as interseções com o eixo x: (0,0) e (6,0). Note que (0,0) é também a interseção com o eixo y.
  4. Desenhe uma parábola simétrica em relação a x=3, passando pelos pontos marcados e abrindo para baixo. Pode usar um ponto extra como (1,5) ou (2,8) para guiar a curvatura (por exemplo h(1)=5, h(2)=8).
  5. Rotule o máximo no vértice e indique que para x<0 e x>6 a parábola fica abaixo do eixo x.

Resposta

Eixo de simetria: x=3
Vértice: (3,9)
Zeros (raízes): x=0 e x=6 (isto é, pontos (0,0) e (6,0))
Estudo do sinal:
h(x)\begin{cases} <0, & x\in(-\infty,0)\cup(6,\infty),\\[4pt] =0, & x=0\ \text{ou}\ x=6,\\[4pt] >0, & x\in(0,6). \end{cases}

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