Um revendedor compra um certo modelo de câmara na fábrica a
150,00
\mathrm{R} $340,00
\mathrm{R} $ 5,00$ de redução no preço, 10 câmaras a mais serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do revendedor em função do preço de venda das câmaras. Desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.
Passo 1
Vou esclarecer o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O revendedor compra cada câmara por
. - Atualmente o preço de venda é
e, a esse preço, a venda média é câmaras por mês. - Para cada redução de
no preço de venda, vendem-se câmaras a mais por mês.
- O revendedor compra cada câmara por
-
O que o enunciado pede:
- Expressar o lucro mensal do revendedor em função do preço de venda das câmaras.
- Desenhar (descrever) o gráfico associado a essa função.
- Estimar o preço ótimo de venda (o preço que maximiza o lucro).
Passo 2
Modelar a relação preço × quantidade vendida (demanda) como uma função linear.
Explicação didática: como o enunciado diz que a cada redução fixa do preço há um aumento fixo na quantidade vendida, isso indica uma relação linear entre preço
e quantidade
. Para uma função linear do tipo
, a razão
é constante.
Calcule o coeficiente angular (slope) usando a informação “cada redução de
aumenta
unidades”:
Portanto
. Agora use o ponto conhecido
para encontrar
:
Logo a demanda em função do preço é
Passo 3
Expressar o lucro mensal em função do preço.
Explicação didática: lucro mensal
= (preço de venda por unidade − custo por unidade) × número de unidades vendidas. Aqui o custo por unidade é
, o preço é
e a quantidade vendida é
.
Logo
Substituindo
:
Expandindo para obter forma polinomial:
Passo 4
Analisar o domínio físico/realista da função e os zeros do lucro.
Explicação didática: a quantidade vendida deve ser não negativa, então exigimos
:
Os zeros do lucro ocorrem quando
. Da forma fatorada
obtém-se
e
. Interpretação:
-
é o preço igual ao custo: margem zero, então lucro zero (mesmo que se vendam unidades). -
é o preço acima do qual a quantidade cai a zero, então lucro também zero.
Passo 5
Determinar o preço que maximiza o lucro (vértice da parábola).
Explicação didática:
é um polinômio quadrático com coeficiente de
negativo (
), portanto é uma parábola voltada para baixo e tem um máximo único no vértice. Para uma quadrática
, o vértice em
é dado por
Aqui
e
, então
Portanto o preço ótimo estimado é
.
Passo 6
Calcular a quantidade vendida e o lucro máximo correspondentes ao preço ótimo.
Usando
:
Usando
:
Em termos monetários: lucro máximo aproximado
por mês.
Passo 7
Descrição do gráfico associado (como desenhar/interpretar).
- A função
é uma parábola voltada para baixo com zeros em e . - O eixo horizontal é o preço
(em reais) e o eixo vertical é o lucro (em reais). - O vértice, ponto mais alto da parábola, está em
com . - Para traçar: marque os pontos
e onde a parábola cruza o eixo das abscissas, marque o vértice em , e desenhe uma curva simétrica entre esses pontos, aberta para baixo. Lembre-se que valores não fazem sentido pois implicam quantidade negativa.
Resposta
Preço ótimo de venda:
Quantidade vendida no ótimo:
Lucro máximo: