Um revendedor compra um certo modelo de câmara na fábrica a \mathrm{R} \ 150,00 a unidade. As câmaras vêm sendo vendidas aâê\mathrm{R} $340,00 ; por este preço, são vendidas em média 40 câmaras por mês. O revendedor pretende reduzir o preço para aumentar as vendas e calcula que, para cadaçãéâêç\mathrm{R} $ 5,00$ de redução no preço, 10 câmaras a mais serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do revendedor em função do preço de venda das câmaras. Desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.

Passo 1

Vou esclarecer o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O revendedor compra cada câmara por R\$150{,}00.
    • Atualmente o preço de venda é R\$340{,}00 e, a esse preço, a venda média é 40 câmaras por mês.
    • Para cada redução de R\$5{,}00 no preço de venda, vendem-se 10 câmaras a mais por mês.
  • O que o enunciado pede:
    1. Expressar o lucro mensal do revendedor em função do preço de venda das câmaras.
    2. Desenhar (descrever) o gráfico associado a essa função.
    3. Estimar o preço ótimo de venda (o preço que maximiza o lucro).

Passo 2

Modelar a relação preço × quantidade vendida (demanda) como uma função linear.
Explicação didática: como o enunciado diz que a cada redução fixa do preço há um aumento fixo na quantidade vendida, isso indica uma relação linear entre preço p e quantidade q. Para uma função linear do tipo q(p)=a+bp, a razão \Delta q/\Delta p é constante.
Calcule o coeficiente angular (slope) usando a informação “cada redução de R\$5{,}00 aumenta 10 unidades”:
\frac{\Delta q}{\Delta p}=\frac{10}{-5}=-2.
Portanto b=-2. Agora use o ponto conhecido (p,q)=(340,40) para encontrar a:
40 = a + (-2)\cdot 340 \quad\Rightarrow\quad a = 40 + 680 = 720.
Logo a demanda em função do preço é
q(p)=720-2p.

Passo 3

Expressar o lucro mensal em função do preço.
Explicação didática: lucro mensal L = (preço de venda por unidade − custo por unidade) × número de unidades vendidas. Aqui o custo por unidade é R\$150{,}00, o preço é p e a quantidade vendida é q(p).
Logo
L(p) = (p - 150)\,q(p).
Substituindo q(p)=720-2p:
L(p)=(p-150)(720-2p).
Expandindo para obter forma polinomial:
L(p) = -2p^2 + 1020p - 108000.

Passo 4

Analisar o domínio físico/realista da função e os zeros do lucro.
Explicação didática: a quantidade vendida deve ser não negativa, então exigimos q(p)\ge 0:
720-2p \ge 0 \quad\Rightarrow\quad p \le 360.
Os zeros do lucro ocorrem quando L(p)=0. Da forma fatorada (p-150)(720-2p)=0 obtém-se p=150 e p=360. Interpretação:
  • p=150 é o preço igual ao custo: margem zero, então lucro zero (mesmo que se vendam unidades).
  • p=360 é o preço acima do qual a quantidade cai a zero, então lucro também zero.

Passo 5

Determinar o preço que maximiza o lucro (vértice da parábola).
Explicação didática: L(p) é um polinômio quadrático com coeficiente de p^2 negativo ( -2), portanto é uma parábola voltada para baixo e tem um máximo único no vértice. Para uma quadrática L(p)=ap^2+bp+c, o vértice em p é dado por
p^* = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=-2 e b=1020, então
p^* = -\frac{1020}{2\cdot(-2)} = 255.
Portanto o preço ótimo estimado é p^*=R\$255{,}00.

Passo 6

Calcular a quantidade vendida e o lucro máximo correspondentes ao preço ótimo.
Usando q(p)=720-2p:
q(255)=720-2\cdot255=720-510=210\\ \text{câmaras por mês}.âê
Usando L(p)=(p-150)q(p):
L(255)=(255-150)\cdot210=105\cdot210=22050.
Em termos monetários: lucro máximo aproximado R\$22.050{,}00 por mês.

Passo 7

Descrição do gráfico associado (como desenhar/interpretar).
  • A função L(p) é uma parábola voltada para baixo com zeros em p=150 e p=360.
  • O eixo horizontal é o preço p (em reais) e o eixo vertical é o lucro L(p) (em reais).
  • O vértice, ponto mais alto da parábola, está em p=255 com L(255)=R\$22.050{,}00.
  • Para traçar: marque os pontos p=150 e p=360 onde a parábola cruza o eixo das abscissas, marque o vértice em p=255, e desenhe uma curva simétrica entre esses pontos, aberta para baixo. Lembre-se que valores p>360 não fazem sentido pois implicam quantidade negativa.

Resposta

L(p)=(p-150)(720-2p) = -2p^{2}+1020p-108000.\newline
Preço ótimo de venda: p^{*}=R\$255{,}00.\newline
Quantidade vendida no ótimo: q(255)=210 unidades por mês.\newline
Lucro máximo: L(255)=R\$22.050{,}00.

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