Para cada função a seguir, calcule \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x), caso exista.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+3, & \text { se } x<-1 \\\\ -x, & \text { se } x>-1 \\\\ 0, & \text { se } x=-1\end{array} \quad\right. com a=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x<-1,\\\\ 0, & x=-1,\\\\ -\,x, & x>-1, \end{cases}
e pede as seguintes quantidades em a=-1:
\lim_{x\to -1^-}f(x), \lim_{x\to -1^+}f(x) e \lim_{x\to -1}f(x).
Para resolver, usamos a definição de limite lateral, aplicando o ramo correspondente (antes ou depois de -1).

Passo 2

Para \lim_{x\to -1^-}f(x) aproximamo-nos de -1 pela esquerda, ou seja, x<-1. Nesse intervalo vale f(x)=2x+3. Então
\lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^-}(2x+3) =2\cdot(-1)+3 =1.

Passo 3

Para \lim_{x\to -1^+}f(x) aproximamo-nos de -1 pela direita, ou seja, x>-1. Nesse intervalo vale f(x)=-x. Logo
\lim_{x\to -1^+}f(x) =\lim_{x\to -1^+}(-x) =-(-1) =1.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem
\lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^+}f(x)=1,
o limite bilateral \lim_{x\to -1}f(x) existe e vale 1, independentemente de f(-1)=0.

Resposta

\lim_{x\to -1^-}f(x)=1
\lim_{x\to -1^+}f(x)=1
\lim_{x\to -1}f(x)=1

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