Calcule usando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0}(1+k x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}(1+kx)^{\frac1x}
usando limites fundamentais. O conteúdo aqui é de limites envolvendo exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica e o fato de que
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 2

Definimos
y = (1+kx)^{\frac1x}.
Se conseguirmos \lim_{x\to0}y, teremos a resposta. Mas é mais fácil trabalhar com o logaritmo natural, porque potências viram produtos.

Passo 3

Tomando o logaritmo em ambos os lados, obtemos
\ln y = \ln\bigl((1+kx)^{\frac1x}\bigr) = \frac1x\,\ln(1+kx).
Então o limite que precisamos estudar é
\lim_{x\to0}\ln y = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+kx)}{x}.

Passo 4

No quociente \frac{\ln(1+kx)}{x}, extraímos k para usar o limite fundamental. Escrevemos
\frac{\ln(1+kx)}{x} =\frac{\ln(1+kx)}{k x}\;k =\underbrace{\frac{\ln(1+kx)}{k x}}_{\displaystyle\to1\text{ quando }x\to0}}\;k.
Como kx\to0 quando x\to0, vale
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+kx)}{k x}=1,
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\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+kx)}{x}=k.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to0}\ln y = k.
Para voltar de \ln y a y, aplicamos a exponencial:
\lim_{x\to0}y =\exp\bigl(\lim_{x\to0}\ln y\bigr) =\exp(k).

Resposta

\mathrm e^{k}

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