Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
f(x, y)=-x^{2}-y^{2}

Passo 1

Vamos esclarecer o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O enunciado fornece a função
f(x,y) = -x^{2} - y^{2}
e pede três coisas:
  • Determinar o domínio (conjunto de pontos (x,y) para os quais f está definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores reais que f assume).
  • Esboçar o domínio.
Informações relevantes dadas: a expressão de f envolve apenas potências (quadrados) e soma, sem raízes, frações ou logaritmos.

Passo 2

O que é domínio e como achar aqui (explicação didática).
  • Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido como número real.
  • A expressão -x^{2}-y^{2} é um polinômio em x e y. Polinômios estão definidos para todo número real.
  • Portanto, não há restrição em x nem em y; qualquer número real serve.
Conclusão deste passo: o domínio é todo o plano, isto é \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Como pensar na imagem (intuição antes do argumento formal).
  • Cada termo x^{2} e y^{2} é sempre não negativo: x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0 para todo real x,y.
  • Então -x^{2}\le 0 e -y^{2}\le 0. Somando-os, -x^{2}-y^{2}\le 0.
  • Isso mostra que os valores de f nunca são positivos: f(x,y)\le 0 para todo (x,y).

Passo 4

Mostrar que 0 é atingido e que não há limite inferior: argumentos formais.
  • A igualdade f(x,y)=0 ocorre quando -x^{2}-y^{2}=0. Como cada termo é \le 0, a soma só pode ser zero se x^{2}=0 e y^{2}=0, isto é em (x,y)=(0,0). Logo 0 pertence à imagem e é o maior valor possível.
  • Para ver que não existe limite inferior (isto é, f pode ficar arbitrariamente negativo), fixe por exemplo y=0 e tome x=t. Então
f(t,0) = -t^{2}.
Ao aumentar |t| qualquer quanto, -t^{2} tende a -\infty. Assim, para cada M<0 existe (x,y) tal que f(x,y)<M.
  • Para mostrar que todo número r com r<0 é realmente atingido, escolha y=0 e tome x=\sqrt{-r} (ou x=-\sqrt{-r}). Então
f\bigl(\sqrt{-r},0\bigr) = -(\sqrt{-r})^{2} = r.
Combinação: f assume todos os valores não positivos, e todos esses valores realmente ocorrem.

Passo 5

Interpretação geométrica (ajuda para esboçar e entender a forma da função).
  • As curvas de nível f(x,y)=c são dadas por
-x^{2}-y^{2}=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=-c.
  • Para c=0 a curva degenerada é o ponto (0,0). Para c<0 obtemos círculos centrados na origem de raio \sqrt{-c}.
  • Geometricamente, f é um paraboloide circular voltado para baixo (um “chapéu” invertido) com ápice no ponto (0,0,f(0,0))=(0,0,0). Isso reforça que o domínio (os pares (x,y) possíveis) é todo o plano e que os níveis de f são círculos concêntricos.
Como esboçar o domínio (passo a passo simples para a prova):
  • Desenhe dois eixos ortogonais x e y.
  • Como não há restrição, sombreie/indique todo o plano; não há regiões excluídas.
  • Se quiser enriquecer o esboço, desenhe alguns círculos centrados na origem representando curvas de nível x^{2}+y^{2}=R^{2} (que correspondem a f=-R^{2}) e marque o ponto (0,0) como o ponto de valor máximo 0.

Passo 6

Resumo final (prévia do que vai na seção de resposta).
  • Domínio: todo \mathbb{R}^{2}.
  • Imagem: todos os números reais menores ou iguais a zero, isto é (-\infty,0].
  • Esboço do domínio: todo o plano cartesiano; opcionalmente desenhar círculos centrados na origem como curvas de nível.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: (-\infty,0]
Esboço do domínio: todo o plano \mathbb{R}^{2} (não há restrições em x nem em y; pode desenhar o plano e, se quiser, círculos centrados na origem como curvas de nível).

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