Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
Passo 1
Vamos esclarecer o que o enunciado pede e o que ele nos deu. O enunciado fornece a função
e pede três coisas:
- Determinar o domínio (conjunto de pontos
para os quais está definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores reais que
assume). - Esboçar o domínio.
Informações relevantes dadas: a expressão de
envolve apenas potências (quadrados) e soma, sem raízes, frações ou logaritmos.
Passo 2
O que é domínio e como achar aqui (explicação didática).
- Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define faz sentido como número real. - A expressão
é um polinômio em e . Polinômios estão definidos para todo número real. - Portanto, não há restrição em
nem em ; qualquer número real serve.
Conclusão deste passo: o domínio é todo o plano, isto é
.
Passo 3
Como pensar na imagem (intuição antes do argumento formal).
- Cada termo
e é sempre não negativo: e para todo real . - Então
e . Somando-os, . - Isso mostra que os valores de
nunca são positivos: para todo .
Passo 4
Mostrar que
é atingido e que não há limite inferior: argumentos formais.
- A igualdade
ocorre quando . Como cada termo é , a soma só pode ser zero se e , isto é em . Logo pertence à imagem e é o maior valor possível. - Para ver que não existe limite inferior (isto é,
pode ficar arbitrariamente negativo), fixe por exemplo e tome . Então
Ao aumentar
qualquer quanto,
tende a
. Assim, para cada
existe
tal que
.
- Para mostrar que todo número
com é realmente atingido, escolha e tome (ou ). Então
Combinação:
assume todos os valores não positivos, e todos esses valores realmente ocorrem.
Passo 5
Interpretação geométrica (ajuda para esboçar e entender a forma da função).
- As curvas de nível
são dadas por
- Para
a curva degenerada é o ponto . Para obtemos círculos centrados na origem de raio . - Geometricamente,
é um paraboloide circular voltado para baixo (um “chapéu” invertido) com ápice no ponto . Isso reforça que o domínio (os pares possíveis) é todo o plano e que os níveis de são círculos concêntricos.
Como esboçar o domínio (passo a passo simples para a prova):
- Desenhe dois eixos ortogonais
e . - Como não há restrição, sombreie/indique todo o plano; não há regiões excluídas.
- Se quiser enriquecer o esboço, desenhe alguns círculos centrados na origem representando curvas de nível
(que correspondem a ) e marque o ponto como o ponto de valor máximo .
Passo 6
Resumo final (prévia do que vai na seção de resposta).
- Domínio: todo
. - Imagem: todos os números reais menores ou iguais a zero, isto é
. - Esboço do domínio: todo o plano cartesiano; opcionalmente desenhar círculos centrados na origem como curvas de nível.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do domínio: todo o plano (não há restrições em
nem em
; pode desenhar o plano e, se quiser, círculos centrados na origem como curvas de nível).
Imagem:
Esboço do domínio: todo o plano