Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
f(x, y)=x^{2} \ln (x+y)

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}\ln(x+y).
Pede-se:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
  • Esboçar o domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \ln(x+y), que só está definida quando o argumento é estritamente positivo.
  • Não há outras restrições (o fator x^{2} é definido para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Encontrando o domínio: regra para logaritmo natural.
  • Lembrete rápido: a função \ln(t) está definida apenas para t>0.
  • Aqui o argumento é t=x+y. Logo a condição para f existir é
x+y>0.
Portanto o domínio D é o conjunto de pares (x,y) que satisfazem essa desigualdade. Escrevendo em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y>0\}.
Interpretação geométrica (como esboçar): a equação x+y=0 é uma reta no plano com coeficiente angular -1 (reta passando pela origem com inclinação -1). A desigualdade x+y>0 corresponde à meia-plano estrito acima dessa reta (ou, visto de outro jeito, o lado onde y>-x). Como é estrita, a reta x+y=0 não pertence ao domínio (bordo excluído). No esboço, desenhe a reta y=-x e sombree a região acima dela, sem incluir a reta.

Passo 3

Estratégia para achar a imagem: reparametrizar por s=x+y.
  • Defina s=x+y. Pelo domínio temos \,s>0.
  • Em função de s e x podemos escrever
f(x,y)=x^{2}\ln s,
onde s>0 e x\in\mathbb{R} (note que y fica determinado por y=s-x, então variar (x,y) com x+y=s é equivalente a variar x livremente para um s fixo).
  • Observe que ao variar x em \mathbb{R} o termo x^{2} varre o intervalo [0,\infty).

Passo 4

Analisar casos conforme o sinal de \ln s.
  • Caso 1: s>1. Então \ln s>0. Como x^{2}\in[0,\infty), o produto x^{2}\ln s varre o intervalo [0,\infty). Ou seja, para cada a\ge 0 existe x tal que x^{2}\ln s=a (por exemplo, escolha x=\sqrt{a/\ln s}).
  • Caso 2: s=1. Então \ln s=0 e f(x,y)=x^{2}\cdot 0=0 para todo x. Logo o valor 0 é atingido nesta linha (todos os pontos com x+y=1).
  • Caso 3: 0<s<1. Então \ln s<0. Como x^{2}\in[0,\infty), o produto x^{2}\ln s varre o intervalo (-\infty,0] (quando x^2 cresce, o produto tende a -\infty; x=0 0).

Passo 5

Combinação dos casos e conclusão sobre a imagem.
  • Dos casos acima, para algum s>1 obtém-se todos os valores não negativos; para algum 0<s<1 obtém-se todos os valores não positivos; o valor 0 é atingido tanto por x=0 (qualquer s>0) quanto por s=1 (qualquer x).
  • Assim a união dos intervalos possíveis é
(-\infty,0]\cup[0,\infty)=\mathbb{R}.
  • Forma construtiva para qualquer t\in\mathbb{R}:
    • Se t\ge 0, escolha s=e (então \ln s=1) e tome x=\sqrt{t}. Então y=s-x=e-\sqrt{t} e f(x,y)=t.
    • Se t<0, escolha s=e^{-1} (então \ln s=-1) e tome x=\sqrt{-t}. Então y=s-x=e^{-1}-\sqrt{-t} e f(x,y)=t.
    • Para t=0 pode-se simplesmente tomar x=0 qualquer s>0 (por exemplo s=1).
Portanto todo número real é alcançado por f.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y>0\}.
Imagem: \mathbb{R}.

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