Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Esboçar o domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, que só está definida quando o argumento é estritamente positivo. - Não há outras restrições (o fator
é definido para todo ).
Passo 2
Encontrando o domínio: regra para logaritmo natural.
- Lembrete rápido: a função
está definida apenas para . - Aqui o argumento é
. Logo a condição para existir é
Portanto o domínio
é o conjunto de pares
que satisfazem essa desigualdade. Escrevendo em notação de conjuntos:
Interpretação geométrica (como esboçar): a equação
é uma reta no plano com coeficiente angular
(reta passando pela origem com inclinação
). A desigualdade
corresponde à meia-plano estrito acima dessa reta (ou, visto de outro jeito, o lado onde
). Como é estrita, a reta
não pertence ao domínio (bordo excluído). No esboço, desenhe a reta
e sombree a região acima dela, sem incluir a reta.
Passo 3
Estratégia para achar a imagem: reparametrizar por
.
- Defina
. Pelo domínio temos . - Em função de
e podemos escrever
onde
e
(note que
fica determinado por
, então variar
com
é equivalente a variar
livremente para um
fixo).
- Observe que ao variar
em o termo varre o intervalo .
Passo 4
Analisar casos conforme o sinal de
.
- Caso 1:
. Então . Como , o produto varre o intervalo . Ou seja, para cada existe tal que (por exemplo, escolha ). - Caso 2:
. Então e para todo . Logo o valor é atingido nesta linha (todos os pontos com ). - Caso 3:
. Então . Como , o produto varre o intervalo (quando cresce, o produto tende a ; dá ).
Passo 5
Combinação dos casos e conclusão sobre a imagem.
- Dos casos acima, para algum
obtém-se todos os valores não negativos; para algum obtém-se todos os valores não positivos; o valor é atingido tanto por (qualquer ) quanto por (qualquer ). - Assim a união dos intervalos possíveis é
- Forma construtiva para qualquer
: - Se
, escolha (então ) e tome . Então e . - Se
, escolha (então ) e tome . Então e . - Para
pode-se simplesmente tomar qualquer (por exemplo ).
- Se
Portanto todo número real é alcançado por
.
Resposta
Domínio:
.
Imagem:
.