Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
f(x, y)=\frac{\sqrt{x y}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o domínio da função f, isto é, o conjunto de pontos (x,y) em \mathbb{R}^2 para os quais a função está bem definida.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores reais que f pode assumir).
    A função dada é
f(x,y)=\frac{\sqrt{x y}}{x+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x y}, logo há a condição sobre o produto x y para que a raiz seja real.
  • Há um denominador x+1, logo devemos evitar x=-1 para não ter divisão por zero.
  • A raiz quadrada principal é sempre não negativa: \sqrt{t}\ge 0 para t\ge 0.

Passo 2

Condições necessárias para \,f(x,y) estar definida (análise das restrições):
  1. A expressão dentro da raiz tem que ser não negativa:
x y \ge 0.
Isto significa que ou ambos x e y são não negativos ( x\ge 0,\,y\ge 0) ou ambos são não positivos ( x\le 0,\,y\le 0). O caso x y=0 é permitido (qualquer um dos fatores pode ser zero).
2. O denominador não pode ser zero:
x+1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1.
Essas duas condições juntas são as únicas restrições.

Passo 3

Escrever o domínio usando as condições encontradas:
\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \ge 0,\; x\neq -1\}.
Uma descrição equivalente e talvez mais geométrica é:
\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\ y\ge 0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\le 0,\\ y\le 0\}\\ \setminus\\ \{(-1,y)\mid y\le 0\}.
Explicação dessa forma: são os dois quadrantes “diagonais” (primeiro e terceiro quadrantes), incluindo os eixos, mas devemos remover a semi-reta vertical formada pelos pontos com x=-1 e y\le 0 (porque nesses pontos x y\ge0 mas x=-1 cancela a função).

Passo 4

Como esboçar o domínio no plano (x,y):
  • Desenhe o primeiro quadrante ( x\ge0,\\ y\ge0) e o terceiro quadrante ( x\le0,\\ y\le0), incluindo os eixos.
  • Risque (retire) a semi-reta vertical que fica em x=-1 para y\le 0 (ou seja, todos os pontos ( -1, y ) com y\le 0 não pertencem ao domínio).
  • Todos os demais pontos dos dois quadrantes são válidos.
    Isso produz dois “bloquinhos” diagonais (com os eixos) conectados na origem, exceto pela remoção da semi-reta em x=-1.

Passo 5

Observações sobre o sinal do numerador e do quociente (intuição para a imagem):
  • A raiz \sqrt{x y} é sempre \ge 0 (quando definida).
  • O denominador x+1 pode ser positivo ( x>-1) ou negativo ( x<-1).
    Portanto f(x,y) pode ser não negativo (quando x>-1) ou não positivo (quando x<-1). Isso sugere que tanto valores positivos quanto negativos são plausíveis na imagem; falta mostrar que todos os reais são de fato atingidos.

Passo 6

Provar que todo r>0 pertence à imagem (construção de preimagem):
Dado r>0, escolha por exemplo x=1 (que satisfaz x\ge0 e x\neq -1). Então, para x=1 e y\ge0 temos
f(1,y)=\frac{\sqrt{1\cdot y}}{1+1}=\frac{\sqrt{y}}{2}.
Queremos \dfrac{\sqrt{y}}{2}=r. Tomando \sqrt{y}=2r ou seja y=(2r)^2\ge0, obtemos um y válido em \mathcal{D} e
f(1,(2r)^2)=r.
Logo qualquer r>0 é alcançado por algum ponto do domínio.

Passo 7

Provar que todo r<0 pertence à imagem (construção de preimagem):
Dado r<0, escreva r=-s com s>0. Escolha por exemplo x=-2 (então x<-1, e para y\le0 temos x y\ge0 e x\neq-1). Para x=-2 e y\le0,
f(-2,y)=\frac{\sqrt{(-2)\,y}}{-2+1}=\frac{\sqrt{2(-y)}}{-1}=-\sqrt{2(-y)}.
Queremos -\sqrt{2(-y)}=r=-s, isto é \sqrt{2(-y)}=s. Tomando -y=\dfrac{s^2}{2} ou y=-\dfrac{s^2}{2}\le0, obtemos
f\!\left(-2,-\frac{s^2}{2}\right)= -s = r.
Portanto qualquer r<0 é também atingido.

Passo 8

Mostrar que 0 pertence à imagem:
Basta tomar y=0 com qualquer x\neq -1 (e xy=0 satisfaz a condição). Então
f(x,0)=\frac{\sqrt{x\cdot 0}}{x+1}=\frac{0}{x+1}=0.
Portanto 0 está na imagem.

Passo 9

Conclusão sobre a imagem:
Dos passos anteriores segue que todos os r>0, todos os r<0 e 0 são alcançados por pontos do domínio. Logo a imagem é todo o conjunto dos números reais:
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.

Resposta

\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \ge 0,\; x\neq -1\}
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}

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