Para cada função a seguir, determine o domínio e a imagem, e esboce o domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o domínio da função
, isto é, o conjunto de pontos em para os quais a função está bem definida. - Determinar a imagem (conjunto de valores reais que
pode assumir).
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, logo há a condição sobre o produto para que a raiz seja real. - Há um denominador
, logo devemos evitar para não ter divisão por zero. - A raiz quadrada principal é sempre não negativa:
para .
Passo 2
Condições necessárias para
estar definida (análise das restrições):
- A expressão dentro da raiz tem que ser não negativa:
Isto significa que ou ambos
e
são não negativos (
) ou ambos são não positivos (
). O caso
é permitido (qualquer um dos fatores pode ser zero).
2. O denominador não pode ser zero:
2. O denominador não pode ser zero:
Essas duas condições juntas são as únicas restrições.
Passo 3
Escrever o domínio usando as condições encontradas:
Uma descrição equivalente e talvez mais geométrica é:
Explicação dessa forma: são os dois quadrantes “diagonais” (primeiro e terceiro quadrantes), incluindo os eixos, mas devemos remover a semi-reta vertical formada pelos pontos com
e
(porque nesses pontos
mas
cancela a função).
Passo 4
Como esboçar o domínio no plano
:
- Desenhe o primeiro quadrante (
) e o terceiro quadrante ( ), incluindo os eixos. - Risque (retire) a semi-reta vertical que fica em
para (ou seja, todos os pontos com não pertencem ao domínio). - Todos os demais pontos dos dois quadrantes são válidos.
Isso produz dois “bloquinhos” diagonais (com os eixos) conectados na origem, exceto pela remoção da semi-reta em.
Passo 5
Observações sobre o sinal do numerador e do quociente (intuição para a imagem):
- A raiz
é sempre (quando definida). - O denominador
pode ser positivo ( ) ou negativo ( ).
Portantopode ser não negativo (quando ) ou não positivo (quando ). Isso sugere que tanto valores positivos quanto negativos são plausíveis na imagem; falta mostrar que todos os reais são de fato atingidos.
Passo 6
Provar que todo
pertence à imagem (construção de preimagem):
Dado , escolha por exemplo
(que satisfaz
e
). Então, para
e
temos
Dado
Queremos
. Tomando
ou seja
, obtemos um
válido em
e
Logo qualquer
é alcançado por algum ponto do domínio.
Passo 7
Provar que todo
pertence à imagem (construção de preimagem):
Dado , escreva
com
. Escolha por exemplo
(então
, e para
temos
e
). Para
e
,
Dado
Queremos
, isto é
. Tomando
ou
, obtemos
Portanto qualquer
é também atingido.
Passo 8
Mostrar que
pertence à imagem:
Basta tomar com qualquer
(e
satisfaz a condição). Então
Basta tomar
Portanto
está na imagem.
Passo 9
Conclusão sobre a imagem:
Dos passos anteriores segue que todos os , todos os
e
são alcançados por pontos do domínio. Logo a imagem é todo o conjunto dos números reais:
Dos passos anteriores segue que todos os