No estudo de trajetórias de partículas, em processos de solidificação de materiais, considere que a posição de uma partícula no espaço, é descrita por:
Calcule a curvatura \boldsymbol{k}(\boldsymbol{t}) da curva.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A posição da partícula é dada por \displaystyle r(t)=\left\langle\sin t,\;\cos t,\;\frac{t}{3}\right\rangle.
O que se pede: calcular a curvatura \displaystyle k(t) da curva (ou seja, a função curvatura em termos de t).
Passo 2
Lembrete didático: fórmula prática para curvatura de uma curva no espaço parametrizada por t (não necessariamente por comprimento de arco). Se r(t) é suave, a curvatura é dada por
Note que as \sqrt{10} se cancelam, resultando numa constante.
Passo 8
Interpretação final (rápida e motivadora): a curvatura da curva é constante e vale \tfrac{9}{10}. Geometricamente, isso faz sentido — essa curva é uma hélice (movimento circular nas primeiras duas coordenadas e subida constante na terceira), hélices têm curvatura constante.