No estudo de trajetórias de partículas, em processos de solidificação de materiais, considere que a posição de uma partícula no espaço, é descrita por:
r(t)=\left\langle\sin t, \cos t, \frac{t}{3}\right\rangle
Calcule a curvatura \boldsymbol{k}(\boldsymbol{t}) da curva.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A posição da partícula é dada por \displaystyle r(t)=\left\langle\sin t,\;\cos t,\;\frac{t}{3}\right\rangle.
  • O que se pede: calcular a curvatura \displaystyle k(t) da curva (ou seja, a função curvatura em termos de t).

Passo 2

Lembrete didático: fórmula prática para curvatura de uma curva no espaço parametrizada por t (não necessariamente por comprimento de arco). Se r(t) é suave, a curvatura é dada por
k(t)=\frac{\bigl\lVert r'(t)\times r''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert^3}.
Explicando cada termo:
  • r'(t) é a velocidade (derivada de r em relação a t); é um vetor.
  • r''(t) é a aceleração (segunda derivada).
  • r'(t)\times r''(t) é o produto vetorial entre velocidade e aceleração; seu módulo mede a “tendência à curvar” da trajetória.
  • \lVert r'(t)\rVert é o comprimento (norma) do vetor velocidade.
    Essa fórmula é muito útil quando a parametrização não é por comprimento de arco.

Passo 3

Calcular r'(t) e r''(t) aplicando derivada componente a componente.
r'(t)=\left\langle\cos t,\; -\sin t,\; \frac{1}{3}\right\rangle.
r''(t)=\left\langle -\sin t,\; -\cos t,\; 0\right\rangle.

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Usamos a fórmula componente a componente:
r'(t)\times r''(t)=\bigl\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr\rangle,
onde r'=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e r''=\langle b_1,b_2,b_3\rangle.
Substituindo a_1=\cos t,\;a_2=-\sin t,\;a_3=\tfrac{1}{3} e b_1=-\sin t,\;b_2=-\cos t,\;b_3=0, obtemos:
r'(t)\times r''(t)=\left\langle \frac{1}{3}\cos t,\; -\frac{1}{3}\sin t,\; -1 \right\rangle.
(Detalhe de cálculo das componentes: primeira componente =(-\sin t)\cdot 0 - \tfrac{1}{3}\cdot(-\cos t)=\tfrac{1}{3}\cos t; segunda =\tfrac{1}{3}\cdot(-\sin t)-\cos t\cdot 0=-\tfrac{1}{3}\sin t; terceira =\cos t\cdot(-\cos t)-(-\sin t)\cdot(-\sin t)=-\cos^2 t-\sin^2 t=-1.)

Passo 5

Calcular o módulo do produto vetorial:
\bigl\lVert r'(t)\times r''(t)\bigr\rVert = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\cos t\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\sin t\right)^2+(-1)^2}.
Agrupando termos:
\bigl\lVert r'(t)\times r''(t)\bigr\rVert = \sqrt{\frac{1}{9}(\cos^2 t+\sin^2 t)+1} = \sqrt{\frac{1}{9}\cdot 1 +1} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}.

Passo 6

Calcular a norma de r'(t):
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(\cos t)^2+(-\sin t)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t+\frac{1}{9}} = \sqrt{1+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}.
Observação: aqui a norma de r'(t) é constante em t, igual a \tfrac{\sqrt{10}}{3}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
k(t)=\frac{\bigl\lVert r'(t)\times r''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert^3} = \frac{\dfrac{\sqrt{10}}{3}}{\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^3}.
Fazendo as contas (simplificando cuidadosamente):
\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^3=\frac{(\sqrt{10})^3}{27}=\frac{10\sqrt{10}}{27}.
Portanto
k(t)=\frac{\dfrac{\sqrt{10}}{3}}{\dfrac{10\sqrt{10}}{27}} =\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{27}{10\sqrt{10}} =\frac{27}{30} =\frac{9}{10}.
Note que as \sqrt{10} se cancelam, resultando numa constante.

Passo 8

Interpretação final (rápida e motivadora): a curvatura da curva é constante e vale \tfrac{9}{10}. Geometricamente, isso faz sentido — essa curva é uma hélice (movimento circular nas primeiras duas coordenadas e subida constante na terceira), hélices têm curvatura constante.

Resposta

\dfrac{9}{10}

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