Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
f(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=e^-x^2
incluindo domínio, interseções com os eixos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso, vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e noções de assíntotas horizontais.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos:
– O expoente -x^2 está definido para todo xinR, logo o domínio é R.
– Interseção com o eixo y: em x=0,
f(0)=e^0=1,
dando o ponto (0,1).
– Interseções com o eixo x: resolvendo e^-x^2=0 não há solução real, pois a exponencial nunca zera. Logo, não há raízes.

Passo 3

Assíntotas:
– Limite em +infty:
limxto+inftye^-x^2=0,
e o mesmo em -infty. Portanto há assíntota horizontal
y=0
– Não há assíntotas verticais porque f está definida em todo R.
– Interseção com a assíntota y=0: não ocorre, pois e^-x^2>0 para todo x.

Passo 4

Monotonicidade e extremos:
– Derivada primeira:
f'(x)=ddxl(e^-x^2r)=-2x,e^-x^2
– Sinal de f'(x): se x<0, então -2x>0 e f'(x)>0; se x>0, então f'(x)<0.
– Conclusão: cresce em (-infty,0) e decresce em (0,+infty).
– Ponto crítico em x=0: como muda de crescente para decrescente, é máximo.
f(0)=1

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão:
– Derivada segunda:
f''(x)=ddxl(-2x,e^-x^2r) =-2,e^-x^2+4x^2e^-x^2 =2e^-x^2l(2x^2-1r)
– Zeros de f'':
2x^2-1=0implies x=pm1raiz2
– Sinal de f'': para |x|<1/raiz2, 2x^2-1<0 ( f é côncava para baixo); para |x|>1/raiz2, 2x^2-1>0 ( f é côncava para cima).
– Pontos de inflexão em
l(pm1raiz2,,e^-1/2r)

Passo 6

Esboço do gráfico:
– É a clássica “campânula” (Gaussiana), simétrica em x=0, com pico em (0,1).
– Abordando o eixo y=0 conforme xtopminfty, mas nunca tocando.
– Muda de concavidade em x=pm1/raiz2.

Resposta

  • Domínio: R
  • Interseção com eixo y: (0,1) Sem interseção com o eixo x.
  • Assíntota horizontal: y=0. Sem assíntotas verticais.
  • Monotonicidade: cresce em (-infty,0), decresce em (0,+infty).
  • Extremo: máximo global em (0,1).
  • Concavidade: côncava para baixo em l(-1/raiz2,,1/raiz2r), côncava para cima em (-infty,-1/raiz2)cup(1/raiz2,+infty).
  • Pontos de inflexão: l(pm1raiz2,,e^-1/2r)
  • Esboço: campânula gaussiana simétrica, pico em (0,1) e decaindo a zero nas extremidades.

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