Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
incluindo domínio, interseções com os eixos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso, vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e noções de assíntotas horizontais.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos:
– O expoente está definido para todo
, logo o domínio é
.
– Interseção com o eixo : em
,
– O expoente
– Interseção com o eixo
dando o ponto
.
– Interseções com o eixo : resolvendo
não há solução real, pois a exponencial nunca zera. Logo, não há raízes.
– Interseções com o eixo
Passo 3
Assíntotas:
– Limite em :
– Limite em
e o mesmo em
. Portanto há assíntota horizontal
– Não há assíntotas verticais porque
está definida em todo
.
– Interseção com a assíntota : não ocorre, pois
para todo
.
– Interseção com a assíntota
Passo 4
Monotonicidade e extremos:
– Derivada primeira:
– Derivada primeira:
– Sinal de
: se
, então
e
; se
, então
.
– Conclusão: cresce em e decresce em
.
– Ponto crítico em : como muda de crescente para decrescente, é máximo.
– Conclusão: cresce em
– Ponto crítico em
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão:
– Derivada segunda:
– Derivada segunda:
– Zeros de
:
– Sinal de
: para
,
(
é côncava para baixo); para
,
(
é côncava para cima).
– Pontos de inflexão em
– Pontos de inflexão em
Passo 6
Esboço do gráfico:
– É a clássica “campânula” (Gaussiana), simétrica em , com pico em
.
– Abordando o eixo conforme
, mas nunca tocando.
– Muda de concavidade em .
– É a clássica “campânula” (Gaussiana), simétrica em
– Abordando o eixo
– Muda de concavidade em
Resposta
- Domínio:
- Interseção com eixo
: Sem interseção com o eixo . - Assíntota horizontal:
. Sem assíntotas verticais. - Monotonicidade: cresce em
, decresce em . - Extremo: máximo global em
. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Pontos de inflexão:
- Esboço: campânula gaussiana simétrica, pico em
e decaindo a zero nas extremidades.