Obtenha os primeiros termos das séries de Taylor/Laurent das funções abaixo (em torno da origem):
\operatorname{cotg} z=\frac{1}{z} z-\frac{1}{3} z-\frac{1}{45} z^{3}-\frac{2}{945} z^{5}+\ldots, 0<|z|<\pi

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de \cot z em torno de z=0, válida para 0<|z|<\pi. Para isso, vamos usar as séries de Taylor de \sin z e \cos z e efetuar a divisão de séries (ou seja, igualar o produto \cot z\cdot\sin z à série de \cos z).

Passo 2

Escrevemos as expansões de \sin z e \cos z até a ordem necessária:
\sin z = z \;-\;\frac{z^{3}}{6}\;+\;\frac{z^{5}}{120}\;-\;\frac{z^{7}}{5040}+\cdots,
\cos z = 1\;-\;\frac{z^{2}}{2}\;+\;\frac{z^{4}}{24}\;-\;\frac{z^{6}}{720}+\cdots.

Passo 3

Assumimos a forma
\cot z = \frac{1}{z} \;+\;A\,z\;+\;B\,z^{3}\;+\;C\,z^{5}+\cdots.
Multiplicando pela série de \sin z deve-se obter a série de \cos z:
\bigl(\tfrac{1}{z}+A z+B z^{3}+C z^{5}+\cdots\bigr)\bigl(z-\tfrac{z^{3}}{6}+\tfrac{z^{5}}{120}-\cdots\bigr) =\;1-\tfrac{z^{2}}{2}+\tfrac{z^{4}}{24}-\tfrac{z^{6}}{720}+\cdots.

Passo 4

Expandindo o produto até z^{6} e comparando coeficientes:
coeficiente de z^{0}:
\tfrac{1}{z}\cdot z =1.
coeficiente de z^{2}:
-\frac{1}{6} \;+\;A \;=\; -\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{1}{3}.
coeficiente de z^{4}:
\frac{1}{120}\;-\;\frac{A}{6}\;+\;B \;=\;\frac{1}{24} \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{1}{45}.
coeficiente de z^{6}:
-\frac{1}{5040}\;-\;\frac{A}{360}\;+\;\frac{B}{6}\;+\;C \;=\;-\frac{1}{720} \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{2}{945}.

Resposta

\cot z = \frac{1}{z} \;-\;\frac{1}{3}\,z\;-\;\frac{1}{45}\,z^{3}\;-\;\frac{2}{945}\,z^{5}+\cdots,\quad 0<|z|<\pi.

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