Para cada função a seguir, obtenha e .

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=x(x+y)^2
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando as regras do produto e da cadeia, tratando uma variável de cada vez como constante.

Passo 2

Para achar ,fx, vemos f(x,y)=xcdot (x+y)^-2. Aplicamos a regra do produto:
fx =partialpartial xl[xr],(x+y)^-2 + x,partialpartial xl[(x+y)^-2r]
Como partialpartial x[x]=1 e partialpartial x[(x+y)^-2]=-2,(x+y)^-3, segue
fx =(x+y)^-2 -2x,(x+y)^-3 =y-x(x+y)^3

Passo 3

Para achar ,fy, tratamos x como constante em
f(x,y)=x,(x+y)^-2
Assim
fy =x;partialpartial yl[(x+y)^-2r] =xcdot(-2),(x+y)^-3 =-2x(x+y)^3

Passo 4

Para ,fxx, derivamos ,fx=(y-x)(x+y)^-3 em relação a x. Usando produto e cadeia:
fxx =partialpartial x[,y-x],(x+y)^-3 +(y-x),partialpartial x[(x+y)^-3]
Como partialpartial x[,y-x]=-1 e partialpartial x[(x+y)^-3]=-3,(x+y)^-4, resulta
fxx =-(x+y)^-3 -3,(y-x),(x+y)^-4 =2(x-2y)(x+y)^4

Passo 5

Para ,fyy, derivamos ,fy=-2x,(x+y)^-3 em relação a y, com x constante:
fyy =-2x;partialpartial y[(x+y)^-3] =-2xcdot(-3),(x+y)^-4 =6x(x+y)^4

Passo 6

Para ,fxy, derivamos ,fx=(y-x)(x+y)^-3 em relação a y:
fxy =partialpartial y[,y-x],(x+y)^-3 +(y-x),partialpartial y[(x+y)^-3]
Aqui partialpartial y[,y-x]=1 e partialpartial y[(x+y)^-3]=-3,(x+y)^-4, logo
fxy =(x+y)^-3 -3,(y-x),(x+y)^-4 =2,(2x-y)(x+y)^4

Passo 7

Para ,fyx, derivamos ,fy=-2x,(x+y)^-3 em relação a x:
fyx =partialpartial x[-2x],(x+y)^-3 -2x,partialpartial x[(x+y)^-3] =-2,(x+y)^-3 +6x,(x+y)^-4 =2,(2x-y)(x+y)^4
Note que ,fyx=fxy, como esperado pela igualdade das derivadas mistas.

Resposta

fx=y-x(x+y)^3, fy=-2x(x+y)^3,
fxx=2,(x-2y)(x+y)^4, fyy=6x(x+y)^4,
fxy=fyx=2,(2x-y)(x+y)^4

Exercícios relacionados