Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.
I. r=theta^2, 0 <= theta <= pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares delimitada pela curva
r = theta^2
no setor angular
0 <= theta <= pi4
O conteúdo necessário é a fórmula da área em coordenadas polares, que diz que a área A de um arco r=f(theta) de theta=a a theta=b é
A = integrala^b 12,r^2,dtheta

Passo 2

Aplicamos a fórmula com r=theta^2, de theta=0 até theta=pi/4. Então temos
A = integral0^pi4 12,l(theta^2r)^2,dtheta = 12 integral0^pi4 theta^4,dtheta

Passo 3

Calculamos a integral:
integral0^pi4 theta^4,dtheta = [theta^55]0^pi4 = 15l(pi4r)^5
Multiplicando pelo fator tfrac12:
A = 12 cdot 15l(pi4r)^5 = 110,pi^54^5 = pi^510 cdot 1024 = pi^510240

Resposta

boxedA = pi^510240

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