Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
z=(2 x+3 y)^10

Passo 1

O enunciado define a função
z = (2x + 3y)^10
e pede as derivadas parciais primeiras ( fx, fy) e segundas ( fxx, fyy, fxy, fyx). Vamos usar a regra da cadeia, tratando u = 2x+3y e sabendo que dduu^10=10u^9.

Passo 2

Para fx = partial zpartial x, aplicamos
partialpartial x(u^10) =10u^9cdotpartial upartial x =10(2x+3y)^9cdot2
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fx = 20(2x+3y)^9

Passo 3

Para fy = partial zpartial y, de modo análogo,
partialpartial y(u^10) =10u^9cdotpartial upartial y =10(2x+3y)^9cdot3
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fy = 30(2x+3y)^9

Passo 4

Para fxx = partialpartial x(fx), note que fx=20u^9, então
fxx =20cdot9u^8cdotpartial upartial x =180(2x+3y)^8cdot2 =360(2x+3y)^8

Passo 5

Para fyy = partialpartial y(fy), como fy=30u^9, temos
fyy =30cdot9u^8cdotpartial upartial y =270(2x+3y)^8cdot3 =810(2x+3y)^8

Passo 6

Para fxy = partialpartial y(fx), aplicamos a derivada de fx=20u^9 em relação a y:
fxy =20cdot9u^8cdotpartial upartial y =180(2x+3y)^8cdot3 =540(2x+3y)^8

Passo 7

Para fyx = partialpartial x(fy), derivamos fy=30u^9 em relação a x:
fyx =30cdot9u^8cdotpartial upartial x =270(2x+3y)^8cdot2 =540(2x+3y)^8

Resposta

fx = 20(2x+3y)^9
fy = 30(2x+3y)^9
fxx = 360(2x+3y)^8
fyy = 810(2x+3y)^8
fxy = 540(2x+3y)^8
fyx = 540(2x+3y)^8

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