The astronomer Giovanni Cassini (1625-1712) studied the family of curves with polar equations
where
and
are positive real numbers. These curves are called the ovals of Cassini even though they are oval shaped only for certain values of
and
. (Cassini thought that these curves might represent planetary orbits better than Kepler’s ellipses.) Investigate the variety of shapes that these curves may have. In particular, how are
and
related to each other when the curve splits into two parts?
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas em coordenadas polares definidas por
com
e
, conhecidas como ovais de Cassini. Queremos classificar as formas dessas curvas e, em particular, descobrir para quais valores de
e
ela se separa em duas componentes desconectadas.
Passo 2
Introduzimos
. A equação torna-se um polinômio quadrático em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
, obtemos
Logo
Passo 3
Para que
seja real e
, precisamos de duas condições:
- O discriminante sob a raiz deve ser não negativo:
- A solução
obtida deve ser não negativa (mas isso fica garantido nas regiões onde o discriminante existe e selecionamos o ramo “ ” para o laço externo e “ ” para o interno).
Se
(isto é,
), então
vale para todo
, e a curva cobre todos os ângulos
. Se
(isto é,
), então só existem soluções reais para
tais que
o que define dois arcos de ângulos — resultando em duas componentes desconectadas.
Passo 4
Concluímos então as três situações típicas:
- Se
, o discriminante é positivo para todo e a curva é um único laço ovalado. - Se
, o discriminante se anula em , a curva torna-se a lemniscata de Bernoulli (contém passagens através de ). - Se
, há apenas soluções reais de em dois intervalos de , e a curva se divide em dois laços separados.
Resposta
A curva separa-se em duas partes exatamente quando