The astronomer Giovanni Cassini (1625-1712) studied the family of curves with polar equations
r^4-2 c^2 r^2 cos 2 theta+c^4-a^4=0
where a and c are positive real numbers. These curves are called the ovals of Cassini even though they are oval shaped only for certain values of a and c. (Cassini thought that these curves might represent planetary orbits better than Kepler’s ellipses.) Investigate the variety of shapes that these curves may have. In particular, how are a and c related to each other when the curve splits into two parts?

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas em coordenadas polares definidas por
r^4-2c^2r^2cos2theta +c^4-a^4=0,
com a>0 e c>0, conhecidas como ovais de Cassini. Queremos classificar as formas dessas curvas e, em particular, descobrir para quais valores de a e c ela se separa em duas componentes desconectadas.

Passo 2

Introduzimos u = r^2. A equação torna-se um polinômio quadrático em u:
u^2-2c^2cos2theta,u +l(c^4-a^4r)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para u, obtemos
u = c^2cos2theta pm raiz,a^4 - c^4sin^22theta,
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r^2 = c^2cos2theta pm raiz,a^4 - c^4sin^22theta,

Passo 3

Para que r seja real e r^2>=0, precisamos de duas condições:
  1. O discriminante sob a raiz deve ser não negativo:
a^4 - c^4sin^22theta ;>=;0 ;Long<=ftrightarrow; sin^22theta ;<=;a^4c^4
  1. A solução r^2 obtida deve ser não negativa (mas isso fica garantido nas regiões onde o discriminante existe e selecionamos o ramo “ +” para o laço externo e “ -” para o interno).
Se tfraca^4c^4>=1 (isto é, a>= c), então sin^22theta<=1 vale para todo theta, e a curva cobre todos os ângulos theta. Se tfraca^4c^4<1 (isto é, a<c), então só existem soluções reais para theta tais que
|sin2theta|<= a^2c^2<1,
o que define dois arcos de ângulos — resultando em duas componentes desconectadas.

Passo 4

Concluímos então as três situações típicas:
  • Se a>c, o discriminante é positivo para todo theta e a curva é um único laço ovalado.
  • Se a=c, o discriminante se anula em sin2theta=pm1, a curva torna-se a lemniscata de Bernoulli (contém passagens através de r=0).
  • Se a<c, há apenas soluções reais de r em dois intervalos de theta, e a curva se divide em dois laços separados.

Resposta

A curva separa-se em duas partes exatamente quando
a < c

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