Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, y)=x^4 y^3+8 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeras e segundas de
f(x,y)=x^4y^3+8x^2y. Vamos usar as regras de derivação parcial, tratando uma variável por vez e considerando a outra como constante.

Passo 2

Para obter fx, derivamos em relação a x com y constante.
A derivada de x^4y^3 é 4x^3y^3 e a de 8x^2y é 16xy.
fx = 4x^3y^3 + 16xy

Passo 3

Para obter fy, derivamos em relação a y com x constante.
A derivada de x^4y^3 é 3x^4y^2 e a de 8x^2y é 8x^2.
fy = 3x^4y^2 + 8x^2

Passo 4

Para fxx, derivamos fx em relação a x.
A derivada de 4x^3y^3 é 12x^2y^3 e de 16xy é 16y.
fxx = 12x^2y^3 + 16y

Passo 5

Para fyy, derivamos fy em relação a y.
A derivada de 3x^4y^2 é 6x^4y e de 8x^2 é 0.
fyy = 6x^4y

Passo 6

Para fxy, derivamos fx em relação a y.
A derivada de 4x^3y^3 é 12x^3y^2 e de 16xy é 16x.
fxy = 12x^3y^2 + 16x

Passo 7

Para fyx, derivamos fy em relação a x.
A derivada de 3x^4y^2 é 12x^3y^2 e de 8x^2 é 16x.
fyx = 12x^3y^2 + 16x

Resposta

fx = 4x^3y^3 + 16xy
fy = 3x^4y^2 + 8x^2
fxx = 12x^2y^3 + 16y
fyy = 6x^4y
fxy = 12x^3y^2 + 16x
fyx = 12x^3y^2 + 16x

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