(a) Investigate the family of curves defined by the polar equations r=sin n theta, where n is a positive integer. How is the number of loops related to n ?
(b) What happens if the equation in part (a) is replaced by r=|sin n theta| ?

Passo 1

O enunciado pede para investigar a curva em coordenadas polares
r = sin(ntheta)
com n inteiro positivo, e descobrir quantos “laços” (ou pétalas) ela tem. Em seguida, trocar por
r = lvert sin(ntheta)rvert
e ver o que muda. Vamos usar o fato de que zeros de sin(ntheta) determinam onde cada laço começa e termina, e que valores r<0 em polares são traçados virados em theta+pi.

Passo 2

Primeiro, analisamos sin(ntheta) sem valor absoluto. Os zeros ocorrem em
theta = kpin, k=0,1,2,dots
ou seja, a cada pi/n em theta o raio zera. Entre um zero e outro, sin(ntheta) é ou positiva (traçando um laço “para frente”) ou negativa (traçando um laço “virado” em pi). O número de intervalos entre zeros em 0<=theta<2pi é 2n, mas algumas pétalas se sobrepõem dependendo de n ser par ou ímpar.

Passo 3

Caso n ímpar:
  • 2n intervalos, mas os laços traçados com sin(ntheta)<0 coincidem exatamente com os traçados positivos (devido à simetria ímpar).
  • Logo, o número total de laços distintos é n.
    Caso n par:
  • Também há 2n intervalos entre zeros, mas agora os laços gerados por sin(ntheta)<0 não se sobrepõem aos de sin(ntheta)>0.
  • Assim aparecem 2n laços distintos.

Passo 4

Agora trocamos para
r = lvert sin(ntheta)rvert
Isso faz com que todos os trechos em que sin(ntheta) seria negativo sejam refletidos para r>0 no mesmo ângulo theta. Como há 2n intervalos entre zeros em 0<=theta<2pi, cada um produz um laço positivo, sem sobreposição. Portanto, para todo n (par ou ímpar), obtemos sempre 2n laços.

Resposta

(a) Para r=sin(ntheta):
  • se n é ímpar, há n laços;
  • se n é par, há 2n laços.
    (b) Para r=lvertsin(ntheta)rvert a curva tem sempre 2n laços.

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