(a) Investigate the family of curves defined by the polar equations
, where
is a positive integer. How is the number of loops related to
?
(b) What happens if the equation in part (a) is replaced by
(b) What happens if the equation in part (a) is replaced by
Passo 1
O enunciado pede para investigar a curva em coordenadas polares
com
inteiro positivo, e descobrir quantos “laços” (ou pétalas) ela tem. Em seguida, trocar por
e ver o que muda. Vamos usar o fato de que zeros de
determinam onde cada laço começa e termina, e que valores
em polares são traçados virados em
.
Passo 2
Primeiro, analisamos
sem valor absoluto. Os zeros ocorrem em
ou seja, a cada
em
o raio zera. Entre um zero e outro,
é ou positiva (traçando um laço “para frente”) ou negativa (traçando um laço “virado” em
). O número de intervalos entre zeros em
é
, mas algumas pétalas se sobrepõem dependendo de
ser par ou ímpar.
Passo 3
Caso
ímpar:
- Há
intervalos, mas os laços traçados com coincidem exatamente com os traçados positivos (devido à simetria ímpar). - Logo, o número total de laços distintos é
.
Casopar: - Também há
intervalos entre zeros, mas agora os laços gerados por não se sobrepõem aos de . - Assim aparecem
laços distintos.
Passo 4
Agora trocamos para
Isso faz com que todos os trechos em que
seria negativo sejam refletidos para
no mesmo ângulo
. Como há
intervalos entre zeros em
, cada um produz um laço positivo, sem sobreposição. Portanto, para todo
(par ou ímpar), obtemos sempre
laços.
Resposta
(a) Para
:
- se
é ímpar, há laços; - se
é par, há laços.
(b) Paraa curva tem sempre laços.