Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, y)=y^5-3 x y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y^5-3xy e pede todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem: fx, fy, fxx, fyy, fxy e fyx. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando uma variável de cada vez como constante.

Passo 2

Para obter fx, derivamos f em relação a x tratando y como constante. A derivada de y^5 em relação a x é zero e a de -3xy é -3y. Logo,
fx = -3y

Passo 3

Para obter fy, derivamos f em relação a y tratando x como constante. A derivada de y^5 é 5y^4 e a de -3xy é -3x. Logo,
fy = 5y^4 - 3x

Passo 4

Para fxx, derivamos fx=-3y em relação a x. Como não há x em -3y, temos
fxx = 0

Passo 5

Para fyy, derivamos fy=5y^4-3x em relação a y. A derivada de 5y^4 é 20y^3 e de -3x é zero, logo
fyy = 20y^3

Passo 6

Para o mix fxy, derivamos fx=-3y em relação a y. Assim,
fxy = -3

Passo 7

Para fyx, derivamos fy=5y^4-3x em relação a x. Isso dá
fyx = -3

Resposta

fx = -3y
fy = 5y^4 - 3x
fxx = 0
fyy = 20y^3
fxy = -3
fyx = -3

Exercícios relacionados