Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, t)=e^-t cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais até segunda ordem de
f(x,t)=e^-tcos(pi x),
ou seja, fx, ft (que chamamos de fy), fxx, ftt (ou fyy), fxt e ftx. Vamos usar as regras de derivação de exponencial e das funções trigonométricas.

Passo 2

Para fx diferenciamos em relação a x, tratando t como constante. Como
ddxcos(pi x)=-pisin(pi x),
temos
fx(x,t)=e^-t,l(-pisin(pi x)r)=-pi e^-tsin(pi x)
Para ft (ou fy) diferenciamos em relação a t, tratando x como constante. Como
ddte^-t=-e^-t,
obtemos
ft(x,t)=-e^-tcos(pi x)

Passo 3

Para fxx derivamos fx de novo em relação a x:
fx(x,t)=-pi e^-tsin(pi x) Longrightarrow fxx(x,t)=-pi e^-t,l(picos(pi x)r)=-pi^2e^-tcos(pi x)

Passo 4

Para ftt derivamos ft de novo em relação a t:
ft(x,t)=-e^-tcos(pi x) Longrightarrow ftt(x,t)=(-1),(-e^-t)cos(pi x)=e^-tcos(pi x)

Passo 5

Para o misto fxt derivamos fx em relação a t:
fx(x,t)=-pi e^-tsin(pi x) Longrightarrow fxt(x,t)=-pi,(-e^-t)sin(pi x) =pi e^-tsin(pi x)

Passo 6

Para o misto ftx derivamos ft em relação a x:
ft(x,t)=-e^-tcos(pi x) Longrightarrow ftx(x,t)=-e^-t,l(-pisin(pi x)r) =pi e^-tsin(pi x)
Observamos que fxt=ftx, conforme o teorema de Clairaut.

Resposta

fx(x,t)=-pi e^-tsin(pi x)
ft(x,t)=-e^-tcos(pi x)
fxx(x,t)=-pi^2e^-tcos(pi x)
ftt(x,t)=e^-tcos(pi x)
fxt(x,t)=pi e^-tsin(pi x)
ftx(x,t)=pi e^-tsin(pi x)

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