A family of curves is given by the equations
, where
is a real number and
is a positive integer. How does the graph change as
increases? How does it change as
changes? Illustrate by graphing enough members of the family to support your conclusions.
Passo 1
O enunciado apresenta a família de curvas em coordenadas polares
onde
é inteiro positivo e
é real. O conteúdo é geometria em coordenadas polares e queremos ver como o número de “pétalas” ou ondulações muda quando variamos
e como a forma dessas ondulações muda quando variamos
.
Passo 2
Fixe um valor moderado de
, digamos
.
Para a curva é apenas um círculo levemente deformado com uma “bossa” (um lobo único).
Para obtemos duas bossas simétricas (duas pétalas).
Para obtemos três pétalas, e assim por diante.
Em geral, o número de pétalas é exatamente .
Concluímos que, à medida que cresce, o número de ondulações (pétalas) cresce linearmente com
, mantendo simetria de rotação de
.
Para
Para
Para
Em geral, o número de pétalas é exatamente
Concluímos que, à medida que
Passo 3
Agora fixe
(por exemplo
) e varie
:
Além disso, o valor absoluto de
Passo 4
Em resumo, a variação de parâmetros causa:
- Aumentar
mais pétalas (n pétalas), mantendo o mesmo “tamanho” geral. - Aumentar
pétalas mais profundas; em surgem cúspides; em surgem laços internos.
Mudanças de sinal deespelham as pétalas (sin estende-se positivamente ou negativamente).
Resposta
À medida que
aumenta, o número de pétalas cresce linearmente, havendo exatamente
pétalas.
À medida que cresce, as pétalas tornam-se mais acentuadas;
dá cúspides e
gera laços internos.
À medida que