A family of curves is given by the equations r=1+c sin n theta, where c is a real number and n is a positive integer. How does the graph change as n increases? How does it change as c changes? Illustrate by graphing enough members of the family to support your conclusions.

Passo 1

O enunciado apresenta a família de curvas em coordenadas polares
r = 1 + c,sinl(nthetar)
onde n é inteiro positivo e c é real. O conteúdo é geometria em coordenadas polares e queremos ver como o número de “pétalas” ou ondulações muda quando variamos n e como a forma dessas ondulações muda quando variamos c.

Passo 2

Fixe um valor moderado de c, digamos c=0.5.
Para n=1 a curva é apenas um círculo levemente deformado com uma “bossa” (um lobo único).
Para n=2 obtemos duas bossas simétricas (duas pétalas).
Para n=3 obtemos três pétalas, e assim por diante.
Em geral, o número de pétalas é exatamente n.
Concluímos que, à medida que n cresce, o número de ondulações (pétalas) cresce linearmente com n, mantendo simetria de rotação de 2pi/n.

Passo 3

Agora fixe n (por exemplo n=4) e varie c:
1. Se lvert crvert<1, então r=1+csin(ntheta) nunca zera, e a curva é uma “flor” com pétalas suaves, sem auto-interseções.
2. Se lvert crvert=1, então em alguns theta temos r=0, gerando cúspides no polo (pétalas tocando o centro).
3. Se lvert crvert>1, então existem intervalos em que r<0, o que produz laços internos: cada pétala se dobra e forma um laço no polo.
Além disso, o valor absoluto de c controla a “profundidade” das pétalas: quanto maior lvert crvert, mais pronunciadas as ondulações.

Passo 4

Em resumo, a variação de parâmetros causa:
  • Aumentar n to mais pétalas (n pétalas), mantendo o mesmo “tamanho” geral.
  • Aumentar lvert crvert to pétalas mais profundas; em lvert crvert=1 surgem cúspides; em lvert crvert>1 surgem laços internos.
    Mudanças de sinal de c espelham as pétalas (sin estende-se positivamente ou negativamente).

Resposta

À medida que n aumenta, o número de pétalas cresce linearmente, havendo exatamente n pétalas.
À medida que lvert crvert cresce, as pétalas tornam-se mais acentuadas; lvert crvert=1 dá cúspides e lvert crvert>1 gera laços internos.

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