Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, y)=xy

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=xy,
O conteúdo aqui é diferenciação parcial: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa. Vamos também usar a regra da potência para expressar
f(x,y)=x,y^-1,

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partialpartial xl(x,y^-1r)=y^-1=1y,
fy=partialpartial yl(x,y^-1r)=xcdot(-1),y^-2=-xy^2

Passo 3

Agora as derivadas segundas puras:
fxx=partialpartial xl(fxr) =partialpartial xl(tfrac1yr)=0,
fyy=partialpartial yl(fyr) =partialpartial yl(-x,y^-2r) =-xcdot(-2),y^-3=2xy^3

Passo 4

Por fim, as derivadas mistas:
fxy=partialpartial yl(fxr) =partialpartial yl(tfrac1yr)=-1y^2,
fyx=partialpartial xl(fyr) =partialpartial xl(-tfracxy^2r)=-1y^2

Resposta

fx(x,y)=1y, fy(x,y)=-xy^2, fxx(x,y)=0, fyy(x,y)=2xy^3, fxy(x,y)=fyx(x,y)=-1y^2

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