Para cada função varphi abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que varphi é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de varphi.
\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{6}: \quad m \mapsto m(\bmod 6),

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{6} definida por \varphi(m)=m\pmod{6}.
Perguntas: (1) \varphi é um homomorfismo de anéis que preserva a unidade? (2) Se sim, qual é \ker(\varphi)?
Informações relevantes dadas: o domínio é \mathbb{Z} (anel comutativo com 1), o contradomínio é \mathbb{Z}_{6} (classes de restos módulo \,6), e a regra envia cada inteiro para sua classe módulo \,6.

Passo 2

Vou lembrar o que é preciso checar para provar que \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade. Precisamos verificar três propriedades essenciais:
  1. Aditividade: para todos a,b\in\mathbb{Z} deve valer \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b).
  2. Multiplicatividade: para todos a,b\in\mathbb{Z} deve valer \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).
  3. Preservação da unidade: \varphi(1_{\mathbb{Z}})=1_{\mathbb{Z}_{6}}.
    Aqui \mathbb{Z}_{6} denota o conjunto das classes \overline{m} de inteiros módulo \,6, com operações soma e produto de classes.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome a,b\in\mathbb{Z}. Por definição de restos módulo 6 temos
\varphi(a+b)=\overline{a+b}.
Como soma de classes é compatível com soma de representantes, vale a identidade
\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}.
Mas \overline{a}=\varphi(a) e \overline{b}=\varphi(b), logo
\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b).
Exemplo numérico rápido para intuir: a=4,b=5\Rightarrow a+b=9, \varphi(9)=\overline{9}=\overline{3}; enquanto \varphi(4)+\varphi(5)=\overline{4}+\overline{5}=\overline{9}=\overline{3}.

Passo 4

Verificação da multiplicatividade. Para a,b\in\mathbb{Z} temos
\varphi(ab)=\overline{ab}.
Produto de classes também é compatível com produto de representantes, portanto
\overline{ab}=\overline{a}\cdot\overline{b}.
Como antes \overline{a}=\varphi(a) e \overline{b}=\varphi(b), segue
\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).
Exemplo numérico: a=4,b=5\Rightarrow ab=20, \varphi(20)=\overline{20}=\overline{2}; \varphi(4)\varphi(5)=\overline{4}\cdot\overline{5}=\overline{20}=\overline{2}.

Passo 5

Verificação da unidade. A unidade em \mathbb{Z} é 1. Aplicando \varphi obtemos
\varphi(1)=\overline{1}.
Na notação de \mathbb{Z}_{6} a unidade 1_{\mathbb{Z}_6} é exatamente \overline{1}. Logo
\varphi(1)=1_{\mathbb{Z}_{6}},
ou seja, \varphi preserva a unidade.

Passo 6

Conclusão sobre ser homomorfismo: das verificações nos passos anteriores segue que \varphi preserva soma, produto e unidade; portanto \varphi é um homomorfismo de anéis que preserva a unidade.
Agora o núcleo: por definição
\ker(\varphi)=\{m\in\mathbb{Z}\mid \varphi(m)=\overline{0}\}.
Dizer \varphi(m)=\overline{0} é o mesmo que dizer que m é congruente a 0 módulo \,6, isto é, existe k\in\mathbb{Z} tal que m=6k. Portanto
\ker(\varphi)=\{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}=6\mathbb{Z}.
Observação rápida: \ker(\varphi) é um ideal de \mathbb{Z} e é precisamente o ideal gerado por 6.

Resposta

Sim, \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade.
\ker(\varphi)=6\mathbb{Z}=\{6k\mid k\in\mathbb{Z}\}.

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