Para cada função varphi abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que varphi é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de varphi. \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{6}: \quad m \mapsto m(\bmod 6),
Passo 1
O enunciado dá a aplicação \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{6} definida por \varphi(m)=m\pmod{6}.
Perguntas: (1) \varphi é um homomorfismo de anéis que preserva a unidade? (2) Se sim, qual é \ker(\varphi)?
Informações relevantes dadas: o domínio é \mathbb{Z} (anel comutativo com 1), o contradomínio é \mathbb{Z}_{6} (classes de restos módulo \,6), e a regra envia cada inteiro para sua classe módulo \,6.
Passo 2
Vou lembrar o que é preciso checar para provar que \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade. Precisamos verificar três propriedades essenciais:
Aditividade: para todos a,b\in\mathbb{Z} deve valer \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b).
Multiplicatividade: para todos a,b\in\mathbb{Z} deve valer \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).
Preservação da unidade: \varphi(1_{\mathbb{Z}})=1_{\mathbb{Z}_{6}}.
Aqui \mathbb{Z}_{6} denota o conjunto das classes \overline{m} de inteiros módulo \,6, com operações soma e produto de classes.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tome a,b\in\mathbb{Z}. Por definição de restos módulo 6 temos
\varphi(a+b)=\overline{a+b}.
Como soma de classes é compatível com soma de representantes, vale a identidade
\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}.
Mas \overline{a}=\varphi(a) e \overline{b}=\varphi(b), logo
\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b).
Exemplo numérico rápido para intuir: a=4,b=5\Rightarrow a+b=9, \varphi(9)=\overline{9}=\overline{3}; enquanto \varphi(4)+\varphi(5)=\overline{4}+\overline{5}=\overline{9}=\overline{3}.
Passo 4
Verificação da multiplicatividade. Para a,b\in\mathbb{Z} temos
\varphi(ab)=\overline{ab}.
Produto de classes também é compatível com produto de representantes, portanto
\overline{ab}=\overline{a}\cdot\overline{b}.
Como antes \overline{a}=\varphi(a) e \overline{b}=\varphi(b), segue
Verificação da unidade. A unidade em \mathbb{Z} é 1. Aplicando \varphi obtemos
\varphi(1)=\overline{1}.
Na notação de \mathbb{Z}_{6} a unidade 1_{\mathbb{Z}_6} é exatamente \overline{1}. Logo
\varphi(1)=1_{\mathbb{Z}_{6}},
ou seja, \varphi preserva a unidade.
Passo 6
Conclusão sobre ser homomorfismo: das verificações nos passos anteriores segue que \varphi preserva soma, produto e unidade; portanto \varphi é um homomorfismo de anéis que preserva a unidade.
Agora o núcleo: por definição