Para cada função
abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que
é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de
.
,
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
para todo
. As perguntas são: (1)
é um homomorfismo de anéis com unidade? e (2) se for, qual é o núcleo de
?
Passo 2
Vamos recordar o que significa ser homomorfismo de anéis com unidade: uma aplicação
entre anéis com unidade é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz três propriedades:
- Aditividade:
para todo . - Multiplicatividade:
para todo . - Preservação da unidade:
.
O núcleo de um homomorfismo de anéis
é o conjunto
ou seja, todos os elementos que são levados ao zero. Esse núcleo é um ideal de
. (Nota: se a aplicação não for homomorfismo, não faz sentido falar do “núcleo” no sentido de ideal associado ao homomorfismo.)
Passo 3
Testando a propriedade da aditividade (a que costuma falhar em exemplos assim). Para
temos
Por outro lado,
Comparando, a diferença é o termo
. Em geral
em
quando
e
são diferentes de zero, portanto a igualdade
não vale para todos
. Um contraexemplo simples: tome
e
. Então
logo
e a aditividade falha. Portanto a propriedade (1) é violada.
Passo 4
Testando a multiplicatividade só para completar o diagnóstico: para
Portanto a propriedade multiplicativa é satisfeita.
Passo 5
Testando preservação da unidade:
logo a unidade é preservada.
Passo 6
Síntese:
preserva multiplicação e unidade, mas não preserva adição. Como a definição de homomorfismo de anéis com unidade exige as três propriedades, concluímos que
não é um homomorfismo de anéis com unidade.
Sobre o núcleo: como a aplicação não é homomorfismo de anéis, não faz sentido falar do núcleo como o ideal associado a um homomorfismo. Se quiser apenas o conjunto de zeros da aplicação (sem interpretar como núcleo de homomorfismo), são os inteiros
tais que
, e em
isso só acontece para
. Mas reforço: isso não é o “núcleo” no sentido de ideal de um homomorfismo, porque
não é homomorfismo.
Resposta
Não —
não é homomorfismo de anéis com unidade.
Núcleo: não aplicável.
Núcleo: não aplicável.