Para cada função varphi abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que varphi é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de varphi.
\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}: \quad m \mapsto m^{2},

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} definida por \varphi(m)=m^{2} para todo m\in\mathbb{Z}. As perguntas são: (1) \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade? e (2) se for, qual é o núcleo de \varphi?

Passo 2

Vamos recordar o que significa ser homomorfismo de anéis com unidade: uma aplicação \varphi:R\to S entre anéis com unidade é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz três propriedades:
  1. Aditividade: \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) para todo a,b\in R.
  2. Multiplicatividade: \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) para todo a,b\in R.
  3. Preservação da unidade: \varphi(1_R)=1_S.
O núcleo de um homomorfismo de anéis \varphi é o conjunto
\ker(\varphi)=\{a\in R\mid \varphi(a)=0_S\},
ou seja, todos os elementos que são levados ao zero. Esse núcleo é um ideal de R. (Nota: se a aplicação não for homomorfismo, não faz sentido falar do “núcleo” no sentido de ideal associado ao homomorfismo.)

Passo 3

Testando a propriedade da aditividade (a que costuma falhar em exemplos assim). Para m,n\in\mathbb{Z} temos
\varphi(m+n)=(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}.
Por outro lado,
\varphi(m)+\varphi(n)=m^{2}+n^{2}.
Comparando, a diferença é o termo 2mn. Em geral 2mn\neq0 em \mathbb{Z} quando m e n são diferentes de zero, portanto a igualdade \varphi(m+n)=\varphi(m)+\varphi(n) não vale para todos m,n. Um contraexemplo simples: tome m=1 e n=1. Então
\varphi(1+1)=\varphi(2)=4, \qquad \varphi(1)+\varphi(1)=1+1=2,
logo 4\neq2 e a aditividade falha. Portanto a propriedade (1) é violada.

Passo 4

Testando a multiplicatividade só para completar o diagnóstico: para m,n\in\mathbb{Z}
\varphi(mn)=(mn)^{2}=m^{2}n^{2}=\varphi(m)\varphi(n).
Portanto a propriedade multiplicativa é satisfeita.

Passo 5

Testando preservação da unidade:
\varphi(1)=1^{2}=1,
logo a unidade é preservada.

Passo 6

Síntese: \varphi preserva multiplicação e unidade, mas não preserva adição. Como a definição de homomorfismo de anéis com unidade exige as três propriedades, concluímos que \varphi não é um homomorfismo de anéis com unidade.
Sobre o núcleo: como a aplicação não é homomorfismo de anéis, não faz sentido falar do núcleo como o ideal associado a um homomorfismo. Se quiser apenas o conjunto de zeros da aplicação (sem interpretar como núcleo de homomorfismo), são os inteiros m tais que m^{2}=0, e em \mathbb{Z} isso só acontece para m=0. Mas reforço: isso não é o “núcleo” no sentido de ideal de um homomorfismo, porque \varphi não é homomorfismo.

Resposta

Não — \varphi não é homomorfismo de anéis com unidade.
Núcleo: não aplicável.

Exercícios relacionados