Sejam R um anel. O centro de R é o conjunto Z(R)=\{x \in R \mid a x=x a, \forall a \in R\}. Prove que Z(R) é um subanel de R.

Passo 1

O enunciado dá um anel R e define o centro de R como
Z(R)=\{x\in R \mid a x = x a,\\ \forall a\in R\}.
O que se pede: provar que Z(R) é um subanel de R.\n
Informações relevantes dadas:
  • R é um anel (ou seja, tem soma, produto, elemento neutro aditivo 0, inverso aditivo -x para todo x, produto associativo, distributividade do produto sobre a soma, e possivelmente unidade multiplicativa 1 se o anel for com unidade).
  • A definição de Z(R) diz que um elemento pertence a Z(R) exatamente quando comuta com todo elemento de R.
  • Devemos mostrar que Z(R) é fechado nas operações relevantes e contém os elementos necessários para ser subanel (fechamento em soma e produto, existência de inverso aditivo no subconjunto; mostraremos também que contém 0 e, se quisermos, 1).

Passo 2

Mostro que 0 e 1 (quando existir unidade em R) pertencem a Z(R).\n
Para 0: tome qualquer a\in R. Usando as propriedades do anel temos
a\cdot 0 = 0 = 0\cdot a.
Portanto 0 comuta com todo a, logo 0\in Z(R).\n
Para 1 (caso R tenha unidade multiplicativa): tome qualquer a\in R. Então
a\cdot 1 = a = 1\cdot a.
Logo 1\in Z(R). Isso mostra que Z(R) não é vazio e contém os neutros.

Passo 3

Mostro que Z(R) é fechado sob soma: se x,y\in Z(R) então x+y\in Z(R).\n
Se x,y\in Z(R) então, por definição, para todo a\in R vale x a = a x e y a = a y. Usando a distributividade do produto em relação à soma obtemos
(x+y)a = x a + y a.
Como x a = a x e y a = a y, substituindo:
(x+y)a = a x + a y.
Pela distributividade no outro lado,
a x + a y = a(x+y).
Combinando, obtemos
(x+y)a = a(x+y),
para todo a\in R. Assim x+y\in Z(R).

Passo 4

Mostro que Z(R) é fechado sob inverso aditivo: se x\in Z(R) então -x\in Z(R).\n
Se x\in Z(R) então x a = a x para todo a\in R. Multiplicando por -1 (propriedade do inverso aditivo) obtemos
(-x)a = -(x a).
Como x a = a x, segue
(-x)a = -(a x).
E pela propriedade de compatibilidade do inverso aditivo com produto no anel,
-(a x) = a(-x).
Logo
(-x)a = a(-x)
para todo a\in R, portanto -x\in Z(R).

Passo 5

Mostro que Z(R) é fechado sob produto: se x,y\in Z(R) então xy\in Z(R).\n
Se x,y\in Z(R) então, para todo a\in R, temos x a = a x e y a = a y. Usando associatividade do produto, calcule
(xy)a = x( y a ).
Como y comuta com a, y a = a y. Substituindo:
(xy)a = x( a y ).
Pela associatividade,
x( a y ) = (x a) y.
Como x comuta com a, x a = a x. Logo
(x a) y = (a x) y.
E novamente pela associatividade,
(a x) y = a (x y).
Juntando todas as igualdades obtemos
(xy)a = a(xy)
para todo a\in R. Assim xy\in Z(R).

Passo 6

Concluo que Z(R) é subanel de R.\n
Recapitulando: mostramos que Z(R) contém 0 (e 1, se R tem unidade), que é fechado sob soma e produto, e que é fechado sob inverso aditivo (logo fechado sob diferença). Essas propriedades são exatamente as necessárias para Z(R) ser um subanel de R. Portanto Z(R) é um subanel (com a mesma unidade quando R tem unidade).

Resposta

Z(R) é um subanel de R.

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