Sejam
um anel. O centro de
é o conjunto
. Prove que
é um subanel de
.
Passo 1
O enunciado dá um anel
e define o centro de
como
O que se pede: provar que
é um subanel de
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é um anel (ou seja, tem soma, produto, elemento neutro aditivo , inverso aditivo para todo , produto associativo, distributividade do produto sobre a soma, e possivelmente unidade multiplicativa se o anel for com unidade). - A definição de
diz que um elemento pertence a exatamente quando comuta com todo elemento de . - Devemos mostrar que
é fechado nas operações relevantes e contém os elementos necessários para ser subanel (fechamento em soma e produto, existência de inverso aditivo no subconjunto; mostraremos também que contém e, se quisermos, ).
Passo 2
Mostro que
e
(quando existir unidade em
) pertencem a
.\n
Para : tome qualquer
. Usando as propriedades do anel temos
Para
Portanto
comuta com todo
, logo
.\n
Para (caso
tenha unidade multiplicativa): tome qualquer
. Então
Para
Logo
. Isso mostra que
não é vazio e contém os neutros.
Passo 3
Mostro que
é fechado sob soma: se
então
.\n
Se então, por definição, para todo
vale
e
. Usando a distributividade do produto em relação à soma obtemos
Se
Como
e
, substituindo:
Pela distributividade no outro lado,
Combinando, obtemos
para todo
. Assim
.
Passo 4
Mostro que
é fechado sob inverso aditivo: se
então
.\n
Se então
para todo
. Multiplicando por
(propriedade do inverso aditivo) obtemos
Se
Como
, segue
E pela propriedade de compatibilidade do inverso aditivo com produto no anel,
Logo
para todo
, portanto
.
Passo 5
Mostro que
é fechado sob produto: se
então
.\n
Se então, para todo
, temos
e
. Usando associatividade do produto, calcule
Se
Como
comuta com
,
. Substituindo:
Pela associatividade,
Como
comuta com
,
. Logo
E novamente pela associatividade,
Juntando todas as igualdades obtemos
para todo
. Assim
.
Passo 6
Concluo que
é subanel de
.\n
Recapitulando: mostramos que contém
(e
, se
tem unidade), que é fechado sob soma e produto, e que é fechado sob inverso aditivo (logo fechado sob diferença). Essas propriedades são exatamente as necessárias para
ser um subanel de
. Portanto
é um subanel (com a mesma unidade quando
tem unidade).
Recapitulando: mostramos que