Esboce a curva de nível de f(x, y)=x^{2}+9 y^{2} que passa pelo ponto P=(3,0) e desenhe o vetor gradiente em P. Calcule o vetor gradiente em P e explique a relação entre o gradiente e a curva de nível.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas claras:
  1. Esboçar a curva de nível de f(x,y)=x^{2}+9y^{2} que passa pelo ponto P=(3,0).
  2. Desenhar o vetor gradiente em P.
  3. Calcular o vetor gradiente em P e explicar a relação entre o gradiente e a curva de nível.
Informações dadas pelo enunciado:
f(x,y)=x^{2}+9y^{2},
o ponto
P=(3,0).

Passo 2

Determinar a curva de nível que passa por P. A curva de nível associada a um valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Primeiro precisamos do valor de c correspondente ao ponto P. Calculamos f em P:
f(3,0)=3^{2}+9\cdot 0^{2}=9.
Portanto a curva de nível procurada é a equação
x^{2}+9y^{2}=9.
Para visualizar melhor, dividimos ambos os lados por 9:
\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1.
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior na direção x igual a 3 (porque \sqrt{9}=3) e semi-eixo menor na direção y igual a 1. Logo o esboço é uma elipse com interseção em (\pm 3,0) e (0,\pm 1). O ponto P=(3,0) está exatamente à direita da origem, na extremidade direita da elipse.

Passo 3

Explicar e calcular o gradiente geral de f. O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Interpretação didática: a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo; análogamente para \frac{\partial f}{\partial y}. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e seu comprimento dá a rapidez desse crescimento nessa direção.
Agora computamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+9y^{2}:
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{2} 2x. Portanto \frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar 9y^{2} 18y. Portanto \frac{\partial f}{\partial y}=18y.
Logo o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=(2x,\;18y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(3,0). Substituímos x=3 e y=0 em \nabla f(x,y):
\nabla f(3,0)=(2\cdot 3,\;18\cdot 0)=(6,\;0).
Esse é o vetor que deve ser desenhado no ponto P: uma seta de ponta (6,0) partindo de (3,0), ou seja, apontando horizontalmente para a direita.

Passo 5

Explicar a relação entre o gradiente e a curva de nível (prova e interpretação geométrica). Observação intuitiva: ao andar ao longo de uma curva de nível, o valor de f não muda (é constante). Logo, a taxa de variação de f na direção tangente à curva de nível é zero. Isso implica que o gradiente é ortogonal à direção tangente.
Prova passo a passo (simples e direta):
  1. Seja uma parametrização da curva de nível por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) tal que para todo t vale f(x(t),y(t))=c constante.
  2. Derivando ambos os lados em relação a t (regra da cadeia), obtemos
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\nabla f(x(t),y(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0,
porque o lado direito é a derivada de uma constante.
3. Assim o produto escalar entre \nabla f e o vetor tangente \mathbf{r}'(t) é zero, ou seja, são ortogonais.
Aplicando isso ao nosso caso: a curva de nível em P tem tangente vertical (vamos ver porquê): diferencie implicitamente a equação da elipse \;x^{2}+9y^{2}=9\; em relação a x (tratando y como função de x):
2x+18y\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{18y}=-\frac{x}{9y}.
No ponto P=(3,0) obtemos divisão por zero: isso significa que a derivada \frac{dy}{dx} é infinita ali, ou seja, a tangente é vertical em P. O gradiente que encontramos em P é (6,0), um vetor horizontal. Então o gradiente é perpendicular à tangente vertical — isso confirma a relação geral: o gradiente é normal (perpendicular) à curva de nível em P.
Interpretação final e intuição: o vetor \nabla f(3,0)=(6,0) aponta na direção em que f cresce mais rápido naquele ponto; sobre a elipse, essa direção é o eixo x para a direita — que é perpendicular à elipse naquele ponto e leva para valores maiores de f (afastando-se do interior da elipse).

Resposta

Equação da curva de nível: \displaystyle x^{2}+9y^{2}=9 (elipse com semi-eixos 3 em x e 1 em y).\nGradiente em P: \displaystyle \nabla f(3,0)=(6,0).\nRelação: o gradiente é perpendicular à curva de nível em P (ou seja, normal à elipse) e aponta na direção de maior aumento de f.

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