Esboce a curva de nível de
que passa pelo ponto
e desenhe o vetor gradiente em
. Calcule o vetor gradiente em
e explique a relação entre o gradiente e a curva de nível.
Passo 1
O enunciado pede 3 coisas claras:
- Esboçar a curva de nível de
que passa pelo ponto . - Desenhar o vetor gradiente em
. - Calcular o vetor gradiente em
e explicar a relação entre o gradiente e a curva de nível.
Informações dadas pelo enunciado:
o ponto
Passo 2
Determinar a curva de nível que passa por
. A curva de nível associada a um valor constante
é o conjunto de pontos
tais que
. Primeiro precisamos do valor de
correspondente ao ponto
. Calculamos
em
:
Portanto a curva de nível procurada é a equação
Para visualizar melhor, dividimos ambos os lados por
:
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior na direção
igual a
(porque
) e semi-eixo menor na direção
igual a
. Logo o esboço é uma elipse com interseção em
e
. O ponto
está exatamente à direita da origem, na extremidade direita da elipse.
Passo 3
Explicar e calcular o gradiente geral de
. O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
:
Interpretação didática: a derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo; análogamente para
. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e seu comprimento dá a rapidez desse crescimento nessa direção.
Agora computamos as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar dá . Portanto . - Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar dá . Portanto .
Logo o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
e
em
:
Esse é o vetor que deve ser desenhado no ponto
: uma seta de ponta
partindo de
, ou seja, apontando horizontalmente para a direita.
Passo 5
Explicar a relação entre o gradiente e a curva de nível (prova e interpretação geométrica). Observação intuitiva: ao andar ao longo de uma curva de nível, o valor de
não muda (é constante). Logo, a taxa de variação de
na direção tangente à curva de nível é zero. Isso implica que o gradiente é ortogonal à direção tangente.
Prova passo a passo (simples e direta):
- Seja uma parametrização da curva de nível por
tal que para todo vale constante. - Derivando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia), obtemos
porque o lado direito é a derivada de uma constante.
3. Assim o produto escalar entre e o vetor tangente
é zero, ou seja, são ortogonais.
3. Assim o produto escalar entre
Aplicando isso ao nosso caso: a curva de nível em
tem tangente vertical (vamos ver porquê): diferencie implicitamente a equação da elipse
em relação a
(tratando
como função de
):
No ponto
obtemos divisão por zero: isso significa que a derivada
é infinita ali, ou seja, a tangente é vertical em
. O gradiente que encontramos em
é
, um vetor horizontal. Então o gradiente é perpendicular à tangente vertical — isso confirma a relação geral: o gradiente é normal (perpendicular) à curva de nível em
.
Interpretação final e intuição: o vetor
aponta na direção em que
cresce mais rápido naquele ponto; sobre a elipse, essa direção é o eixo
para a direita — que é perpendicular à elipse naquele ponto e leva para valores maiores de
(afastando-se do interior da elipse).
Resposta
Equação da curva de nível:
(elipse com semi-eixos
em
e
em
).\nGradiente em
:
.\nRelação: o gradiente é perpendicular à curva de nível em
(ou seja, normal à elipse) e aponta na direção de maior aumento de
.