Determine os pontos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo.
\beta(t)=\left(t \ln t^{2}-2 t, 2 t^{3}-9 t^{2}+12 t\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores de t tais que a derivada do vetor \beta(t) = \bigl(t\ln t^{2}-2t,\;2t^{3}-9t^{2}+12t\bigr) seja o vetor nulo. O conteúdo é derivada de função vetorial: calculamos \beta'(t) componete a componete e igualamos cada uma a zero, resolvendo o sistema resultante.

Passo 2

Calculemos a derivada da primeira componente \displaystyle f(t)=t\ln t^{2}-2t.
Usando regra do produto e \tfrac{d}{dt}\ln t^{2}=\tfrac{2}{t}, temos
f'(t) =\ln t^{2} +\;t\cdot\frac{2}{t} -\;2 =\ln t^{2}+2-2 =\ln t^{2}.

Passo 3

Calculemos a derivada da segunda componente \displaystyle g(t)=2t^{3}-9t^{2}+12t.
Derivando termo a termo,
g'(t) =6t^{2}-18t+12 =6\bigl(t^{2}-3t+2\bigr) =6(t-1)(t-2).

Passo 4

Igualamos \beta'(t)=(f'(t),g'(t)) ao vetor nulo, obtendo o sistema
\ln t^{2}=0, \qquad 6(t-1)(t-2)=0.
Da primeira equação vem t^{2}=1, ou seja t=\pm1. Da segunda, t=1 ou t=2. A única solução em comum é t=1.

Passo 5

Para t=1, o ponto da curva é
\beta(1) =\bigl(1\cdot\ln1^{2}-2\cdot1,\;2\cdot1^{3}-9\cdot1^{2}+12\cdot1\bigr) =(-2,\;5).

Resposta

O único valor de t que anula \beta'(t) é t=1, gerando o ponto \bigl(-2,5\bigr) na curva.

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