Calcule, por inspeção, as seguintes integrais. Explique seu raciocínio.
, em que
é o disco
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, em que
é o disco unitário (
). O conteúdo principal aqui é usar simetria e coordenadas polares para integrar funções sobre um disco.
Passo 2
Para a parte com
: como
é ímpar em relação ao eixo
e o disco é simétrico em torno desse eixo, temos
Passo 3
Para a parte com
: pela simetria do disco,
e portanto
Passo 4
Usando coordenadas polares,
Passo 5
Logo
Passo 6
Agora juntando os resultados: