Calcule, por inspeção, as seguintes integrais. Explique seu raciocínio.
integral duplaD(x+3 y^2) d A, em que D é o disco 0 <= x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD(x+3y^2),dA, em que D é o disco unitário ( x^2+y^2<=1). O conteúdo principal aqui é usar simetria e coordenadas polares para integrar funções sobre um disco.

Passo 2

Para a parte com x: como x é ímpar em relação ao eixo y e o disco é simétrico em torno desse eixo, temos
integral duplaDx,dA=0

Passo 3

Para a parte com y^2: pela simetria do disco,
integral duplaDy^2,dA=integral duplaDx^2,dA,
e portanto
integral duplaD(x^2+y^2),dA=2integral duplaDy^2,dA

Passo 4

Usando coordenadas polares,
integral duplaD(x^2+y^2),dA=integral0^2piintegral0^1r^2cdot r,dr,dtheta=integral0^2pi14,dtheta=pi2

Passo 5

Logo
integral duplaDy^2,dA=12cdotpi2=pi4

Passo 6

Agora juntando os resultados:
integral duplaD(x+3y^2),dA=0+3cdotpi4=3pi4

Resposta

3pi4

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