Calcule as seguintes integrais iteradas invertendo, inicialmente, a ordem de integração.
integral0^9 integralraizy^3 sen(x^3) d x d y.

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai calcular uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que a gente tem:
integral0^9 integralraizy^3 sin(x^3) , dx , dy
Aqui, a integral está dentro dos limites $ y $ de 0 a 9 e para cada $ y $, $ x $ varia de $ \sqrt{y} $ a 3.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos desenhar ou imaginar a região de integração no plano $ xy $.
  • Limites de $ y $: de 0 a 9.
  • Limites de $ x $: de $ \sqrt{y} $ a 3.
Vamos resolver a inequação $ x \geq \sqrt{y} $ que equivale a $ y \leq x^{2} $.
Então, para $ x $, ele varia de 0 a 3 (já que $ \sqrt{9} = 3 $). E para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ x^{2} $.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a ordem invertida:
integral0^3 integral0^x^2 sin(x^3) , dy , dx
Note que agora, para cada $ x $, $ y $ vai de 0 a $ x^{2} $, e $ x $ vai de 0 a 3.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Como $ \sin\left(x^{3}\right) $ é uma constante em relação a $ y $, a integral fica:
integral0^x^2 sin(x^3) , dy
Agora, a integral fica:
sin(x^3)
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja $ u = x^{3} $, então $ du = 3x^{2} dx $, ou seja, $ x^{2} dx = \frac{du}{3} $.
Substituindo:
y
A integral de $ \sin(u) $ é $ -\cos(u) $, então:
sin(x^3) cdot y |0^x^2 = sin(x^3) cdot x^2
Como $ \cos(0) = 1 $, temos:
integral0^3 x^2 sin(x^3) , dx

Resposta

A integral vale $ \frac{1 - \cos(27)}{3} $.

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