Calcule as seguintes primitivas:
21a
integral raiz1-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva integral raiz1 - x^2,dx. O conteúdo é integração de funções com raiz do tipo raiza^2 - x^2, e vamos usar substituição trigonométrica para simplificar essa raiz.

Passo 2

Para tratar a raiz raiz1 - x^2, fazemos a substituição x = sin theta. Assim, dx = cos theta,dtheta e raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = cos theta, já que escolhemos um intervalo para theta em que costheta>=0.
Substituindo na integral, temos:
integral raiz1 - x^2,dx = integral (cos theta),(cos theta,dtheta) = integral cos^2 theta,dtheta
Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2

Passo 3

Então a integral vira:
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta
Calculando cada parte:
12integral dtheta = theta2,
12integral cos(2theta),dtheta = 12 cdot sin(2theta)2 = sin(2theta)4
Somando e acrescentando a constante de integração, obtemos:
theta2 + sin(2theta)4 + C
Usando a identidade sin(2theta)=2sinthetacostheta, isso vira:
theta2 + 2sinthetacostheta4 + C = theta2 + sinthetacostheta2 + C

Passo 4

Voltando à variável x: temos theta = arcsin x, sintheta = x e costheta = raiz1 - x^2. Substituindo, a primitiva fica:
arcsin x2 + xraiz1 - x^22 + C

Resposta

x2raiz1 - x^2 + 12arcsin(x) + C

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