Seja f(x)=ln x e Pn(x) o n-ésimo polinômio de Taylor de f ao redor de x=3. Seja En=|f(x)-Pn(x)| o erro que se comete ao aproximar f por Pn em ] 2,4[. Se En<10^-9, podemos afirmar que:
l (n+1) 2^n+1>10^9 B (n+2) 2^n>10^9
C 2^n+1>10^9.
D (n+3) 2^n+1>10^9.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f(x) = \ln x $ e queremos aproximá-la usando um polinômio de Taylor em torno de $ x = 3 $. O objetivo é encontrar qual das alternativas (A, B, C, D ou E) é verdadeira quando o erro da aproximação $ E_n = |f(x) - P_n(x)| $ é menor que $ 10^{-9} $ no intervalo de $ ]2, 4[ $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios de Taylor e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de $ f(x) $ em torno de $ x = a $ é uma soma dos termos derivados de $ f $ avaliados em $ a $. A fórmula geral do erro $ E_n $ ao aproximar $ f(x) $ com o polinômio de Taylor $ P_n(x) $ é dada pela forma de Lagrange:
f(x)
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $.

Passo 3

No nosso caso, $ f(x) = \ln x $ e $ a = 3 $. Vamos calcular a derivada de ordem $ n+1 $. Sabemos que:
f(x) = ln x
Portanto,
a = 3

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
En = | (-1)^n n!c^n+1(n+1)! (x - 3)^n+1 | = 1(n+1) c^n+1 |x - 3|^n+1
Como $ x $ está no intervalo $ ]2, 4[ $, a distância máxima de $ x $ a 3 é 1 (já que $ |x - 3| < 1 $).

Passo 5

Então, o erro máximo ocorre quando $ |x - 3| = 1 $, e podemos simplificar:
|x - 3| = 1
Como $ c $ está entre 2 e 4, para garantir uma cota superior, usamos $ c = 2 $:

Passo 6

Queremos que $ E_n < 10^{-9} $, então:
Isso implica que:
En < 10^-9

Passo 7

Agora, vamos analisar as alternativas:
A) $ (n+1) 2^{n+1} > 10^{9} $
B) $ (n+2) 2^{n} > 10^{9} $
C) $ 2^{n+1} > 10^{9} $
D) $ (n+3) 2^{n+1} > 10^{9} $
E) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Comparando com o que encontramos, vemos que a alternativa A é exatamente o que precisamos.

Resposta

A

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