Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=6 e^{-x / 4} \cdot \cos (\pi x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=6e^{-x/4}\cos(\pi x)
e pede sua derivada. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
u(x)=6e^{-x/4} \quad\text{e}\quad v(x)=\cos(\pi x).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivando u e v:
– Como \frac{d}{dx}e^{-x/4}=-\tfrac{1}{4}e^{-x/4},
u'(x)=6\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-x/4}\Bigr) =-\tfrac{6}{4}e^{-x/4}.
– Como \frac{d}{dx}\cos(\pi x)=-\sin(\pi x)\cdot\pi,
v'(x)=-\pi\sin(\pi x).

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x) =-\tfrac{6}{4}e^{-x/4}\cos(\pi x) +6e^{-x/4}\bigl(-\pi\sin(\pi x)\bigr) =6e^{-x/4}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(\pi x)-\pi\sin(\pi x)\Bigr).

Resposta

f'(x)=6e^{-x/4}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(\pi x)-\pi\sin(\pi x)\Bigr).

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