Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\tan (x) \cdot \operatorname{sec} (x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan(x)\cdot\operatorname{sec}(x).
Aqui vamos usar dois conteúdos principais: a regra do produto para derivadas e as derivadas das funções trigonométricas \tan(x) e \operatorname{sec}(x).

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
No nosso caso u(x)=\tan(x) e v(x)=\operatorname{sec}(x), portanto
f'(x)=\bigl(\tan(x)\bigr)'\,\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\,\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)'.

Passo 3

Agora lembramos as derivadas básicas de funções trigonométricas:
(\tan(x))'=\operatorname{sec}^2(x), \quad (\operatorname{sec}(x))'=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x).

Passo 4

Substituindo essas derivadas em f'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}^2(x)\,\operatorname{sec}(x) +\tan(x)\,\bigl(\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\bigr) =\operatorname{sec}^3(x)+\operatorname{sec}(x)\,\tan^2(x).

Passo 5

Para simplificar, fatoramos \operatorname{sec}(x):
f'(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}^2(x)+\tan^2(x)\bigr).
E se quisermos usar a identidade \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x), notamos que
\operatorname{sec}^2(x)+\tan^2(x) =(1+\tan^2(x))+\tan^2(x) =2\,\tan^2(x)+1,
mas a forma mais direta é
f'(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}^2(x)+\tan^2(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}^2(x)+\tan^2(x)\bigr).

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